我们为什么需要数学证明
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证明是一种逻辑论证，可以毫无疑问地证明某事是真的。你是如何着手证明自己的论点的呢？为什么数学家如此热衷于证明呢？
证明的方式有什么?
数学能证明这只绵羊的什么呢?
在日常生活中，当我们心存理性时，我们通常会使用两种形式的推理。其中一种被称为归纳推理，它会利用我们看到过的东西中归纳出一个一般性的结论。例如，如果你见过的所有羊都是白色的，你可能会得出结论说所有的羊都是白色的。这种形式的推理非常有用——科学家们以类似的方式——根据他们所做的观察来形成他们的理论——但这种推理并非无懈可击的。因为你不能肯定你见过宇宙中的每一只羊，所以你永远不能确定没有一只黑色的羊藏在某个地方，所以你不能确定你的结论是绝对真确。如果你使用归纳推理，当新的证据出现时，你必须对修改你的结论持开放态度，这也是科学家通常会做的事情。
另一种形式的推理被称为演绎推理，它与归纳推理的证明手法截然不同。你从一个你确信是正确的概括性陈述开始，然后对一个具体的案例得出结论。例如，如果你知道一个事实，所有的羊都喜欢吃草，你也知道站在你面前的是一只羊，那么你肯定知道它喜欢草。这种形式的推理是无懈可击的。只有当你的前提是错误的（也就是说，你错误地认为所有的羊都喜欢草），或者你的观察是错误的（也就是说，你正在观察的生物实际上不是一只羊，它才会出错）。但如果这两件事都是正确的，而你的结论必然来自你的前提，那么它在任何地方都是正确的，并且恒为真。
关于公理
一段错误的证明
令 
可以得到
这也可以写作：
两边同除以 
得到：
数学就是证明某一些命题，如毕达哥拉斯定理，这在任何地方都是正确的。这就是数学基于演绎推理的原因。数学证明是从你确信为真的其他陈述中推导出要证明的陈述的论据。例如：如果给你一个三角形中的两个角，你可以利用一个平面中三角形内角和等于180度这一事实推断出第三个角的值。
演绎推理在数学中的重要性在古希腊时期就知道了，被誉为几何学之父的亚历山大市的欧几里德想出了一系列公理，他认为这些陈述显然是正确的，不需要进一步的证明(点击此处查看)。其中包括(以略微不同于现在的形式)三角形内角加起来等于180度的说法。任何其他关于几何的陈述，例如毕达哥拉斯定理，都应该通过演绎推理从这些公理中推导出来。欧几里德著名的数学著作《原本》就是基于这种推理。这是有史以来最成功的书之一——有人说它的版本比圣经还多。
但当然，你仍然需要非常小心地使用演绎推理，因为错误很容易溜进去。要确定结论是正确的，需要确保你的一般假设是正确的，并且您已经正确地使用了它们。例如，上面的证明只使用了关于如何处理方程的基本假设，但它的结论是1=2。你能找出其中的矛盾吗？
我们需要证明吗?
为什么数学家坚持要证明一切呢？在正常生活中，我们不会那么迂腐。如果谋杀案中的所有证据都指向某个特定的嫌疑人，我们很乐意给他们定罪，并说他们的罪行已经被证明是“无可辩驳的”。但是，我们永远不能真正确定。就像任何无辜的罪犯都会告诉你，那些事不是他们干的。
数学也许是唯一可以绝对确定的领域，这就是为什么数学家如此重视证明的原因。此外，如果我们不坚持证明，错误可能会悄悄出现，否则问题很难被发现。上面提到的三角形就是一个著名的例子。欧几里德的一个公理相当于说所有三角形的内角之和是180度——他认为这是如此明显，我们应该自然地接受它。然而，在他之后的数学家们认为他们可以做得更好。他们试图从欧几里得的其他公理中推导出这一事实。这样，我们不仅要相信它，而且可以认为它是被证明的(假设其他公理是正确的)。
数学家们为这一证明奋斗了几百年。在19世纪，它甚至成了一种痴迷，以至于数学家法卡斯·博莱伊(Farkas Bolyai)觉得有必要警告他的儿子贾诺斯(János)远离它：
“看在上帝的份上，我恳求你放弃它。对它的恐惧丝毫不亚于感官上的激情，因为它也可能占用你所有的时间，剥夺你的健康、心灵的安宁和生活的幸福。”
M.C.埃舍尔(M.C.Escher)的《圆极限IV》(The Circle Limit IV)展示了双曲平面的一个模型。
All M.C. Escher works © 2002 Cordon Art - Baarn - Holland (www.mcescher.com).
但雅诺斯·博莱伊还在坚持尝试，和其他人一样，他也未能证明三角形中的角总是等于180度。因为这并不总是正确的。只有当你在平面上画三角形时，它才能起作用。如果你把它画在一个球体上，比方说画在一个橙子上，内部角度加起来超过180度。在试图证明180度结果的过程中，数学家(包括博莱伊)偶然发现了另一个非常奇怪的曲面，称为双曲平面，在这个曲面上，三角形的角度加起来不到180度。
双曲线平面很抽象，但它类似于一片甘蓝叶，随着你向边缘移动，它会变得越来越皱(参见此处了解更多信息)。虽然我们在日常生活中不会遇到这种奇怪的表面，但它是非常重要的。爱因斯坦的狭义相对论就是用双曲几何表述的。狭义相对论诞生了广义相对论，没有广义相对论，现代的卫星导航设备和具有GPS功能的手机都将无法工作。
数学证明还需要人类吗?
数学家常常引以为豪的事是，他们所需要做的就是他们的大脑和一支铅笔和一张纸。但近几十年来，这种情况已经开始改变：计算机进入了数学领域，并引发了许多争论。这场争论与使用计算器或计算机进行奇怪的计算无关。数学家使用这些设备让他们的生活变得更容易，就像其他人一样。但这却让那些完全依赖于计算机的证明是否可信产生了新的争议。
有两种方式可以实现计算机证明。在计算机辅助证明里，计算机被用来执行大量的步骤，这些步骤是单个人不可能在任何合理的时间内完成的。证明本身的逻辑仍然来自人类，但如果没有一个人可以检查计算机进行的所有计算，你就不能百分之百确定证据中没有错误，所以有些人会认为这样的证明是无效的。有关计算机辅助证明的更多信息，请参见此处。
近年来，计算机科学家还开发了自动定理证明(ATP)的计算机程序，它可以使用逻辑规则从一些基本前提推导出结果，从而证明它。到目前为止，ATP仍然需要大量的人力投入才能正常工作，但可以想象，在未来，它们将变得更加强大。它们能否取代人类还有待观察，这是一个被激烈辩论的话题。有关更多信息，请参阅证明的未来。
数学的极限
数学所说的每一句话都可以毫无疑问地证明是真是假吗？数学真的能不辜负这样高尚的主张吗？不幸的是，并不完全是。在20世纪初，人们不得不把所有的数学，而不仅仅是像平面几何这样的子领域，放在一个严格的基础上，以确保每一个正确的陈述都可以从几个基本公理中推导出来。这不是一件容易的事。伯特兰·罗素(Bertrand Russell)和阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德(Alfred North Whitehead)的一次著名尝试让数学变得进退两难：根据他们选择的公理，1+1=2的证明跨越了几百页。他们的系统也有一个缺陷：他们不能证明它不包含任何矛盾。
库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)
几年后，一位名叫库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)的年轻奥地利数学家给他们的梦想带来了致命的打击。假设你选择了一组你认为应该是所有数学基础的公理。如果这组公理不允许定义和得出关于自然数及其算术的结论，那么这组公理就没有什么用处了，所以让我们也假设被选择的公理集足够强大，可以做到这一点。我们还假设，根据公理构建所有的数学，一个接一个地证明一个又一个陈述时，过程中不会遇到任何矛盾：用这个公理集构建的系统是没有矛盾的。哥德尔证明的是，在由此产生的系统中，总是会有数学陈述，不能用已选择的的公理来证明它是真是假，也即总会有一些无法被判定真确的陈述。
这是一个相当令人震惊的结果：这意味着无论你选择哪一套公理，你能建立起来的数学总是非常不完整的。这就是为什么哥德尔的结果(实际上有两个不同的结果)被称为不完备性定理。数学家有一些用公认的数学公理无法证明的陈述的具体例子。当你遇到这样一个无法决定的命题时，你必须自己决定是否相信它是真的。(要了解有关哥德尔不完全性定理的更多信息，请参见此处。)
然而，不幸的是，哥德尔的研究结果并不能作为借口，以你不相信为理由撕毁你的缴税单。人们每天使用的那种数学，无论是计算税收还是制造飞机，都是毋庸置疑的。到目前为止，数学家们发现的无法决定的陈述(参见此处的一些例子)并没有进入这些领域。如果有一天无法决定的陈述确实干扰了我们的技术和计算，那么数学家们将不得不回到科学家的方法上，并根据他们对周围发生的事情的观察来判断什么是真的，什么是假的。
