整式的四则运算
前言
复习 引申，代数式指由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除加法和减法属于一级运算，二者互为逆运算；乘法和除法属于二级运算，二者互为逆运算；在运算顺序的确定中，级别越高，运算顺序越优先，这四种运算通常统称为四则运算，在四则混合运算中，先算乘除，后算加减；乘法和除法可以理解为加法和减法的简便运算；\(\;\;\)、乘方和开方乘方和开方属于三级运算，其可以理解为乘法和除法的简便运算；\(\quad\)等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。在复数范围内，代数式分为有理式和无理式。有理式包括整式[除数中没有字母的有理式]和分式[除数中有字母且除数不为0的有理式]。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。整式又包括单项式[数字或字母的乘积，或者是单独的一个数字或字母]和多项式[若干个单项式的和]。我们把含有字母的根式、字母的非整数次乘方，或者是带有非代数运算的式子叫做无理式。无理式包括根式和超越式。我们把可以化为被开方式为有理式，根指数不带字母的代数式称为根式。我们把有理式与根式统称为代数式，把根式以外的无理式叫做超越式。
注意：单项式\(-\cfrac{1}{2}xy\)的次数是\(2\)次的；多项式\(-\cfrac{2}{3}x+x^2-3y^3\)的次数是\(3\)次的，易错切记！
整式加减
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同类项：在单项式\(3ab^2\)与\(-4ab^2\)中，它们都含有字母\(a\)，\(b\)，并且\(a\)都是一次，\(b\)都是二次，像\(3ab^2\)与\(-4ab^2\)这样，所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，需要特别提醒的是，几个常数项也叫同类项比如常数\(2\)\(=\)\(2\)\(\cdot\)\(x^0\)，\(\cfrac{1}{2}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\cdot\)\(x^0\)，故几个常数项也叫同类项。\(\quad\)。把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项比如\(2xy\)\(-\)\(3yx\)\(=\)\(-xy\)，\(\quad\)。
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我们可以运用交换律、结合律、分配律加法交换律:\(a\)\(+\)\(b\)\(=\)\(b\)\(+\)\(a\);
乘法交换律:\(a\)\(\cdot\)\(b\)\(=\)\(b\)\(\cdot\)\(a\);
加法结合律:
\((\)\(a\)\(+\)\(b\)\()\)\(+\)\(c\)\(=\)\(a\)\(+\)\((\)\(b\)\(+\)\(c\)\()\);
乘法结合律:
\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\);
乘法对加法的分配律:\(a(b+c)=ab+ac\);\(\quad\)把多项式中的同类项进行合并。
(1).\(5ab-2ab-3ab=\)_________________;
(2).\(mn+nm=\)_________________;
(3).\(-5x^{n}-x^{n}-(-8x^{n})=\)_________________;
(4).\(-5a^{2}-a^{2}-(-7a^{2})+(-3a^{2})=\)_________________;
(5).若\(\cfrac{4}{5}a^{m-1}b^{2}\)与\(3a^{3}b^{n}\)是同类项，则\(m^{n}\)的值为_________________;
(6).若\({3}^{2}a^{2}b^{m}\)与\(-0.5a^{n}b^{4}\)的和是单项式，则\(m=\), \(n=\)____;
(7).把\((x-1)\)当作一个整体[整体思想]，合并\(3(x-1)^{2}-2(x-1)^{3}-5(1-x)^{2}+4(1-x)^{3}=\)_________;
(8).把\((m-n)\)当作一个整体，合并\((m-n)^{2}+2(m-n)-\cfrac{1}{3}(n-m)^{2}-3m+3n=\)_______________;
整式乘法
- 单项式乘以单项式
(1).\(4a^{3}b^{2}\cdot(-5ab^{3})\)
\(=[4 \times(-5)] \cdot\left(a^{3} \cdot a\right) \cdot\left(b^{2} \cdot b^{3}\right) \quad\)
\(=-20 a^{4} b^{5}\)
(2).\(\left(-6 x^{3} y^{2} z\right) \cdot\left(-\frac{1}{2} x y^{3}\right)\)
\(=[(-6) \cdot(-\cfrac{1}{2})](x^{3} \cdot x)\cdot(y^{2}\cdot y^{3})\cdot z\)
\(=3x^{4}y^{5}z\)
①.\(3a^{2}\cdot4ab=\)____________；
②.\((2ab^{3})\cdot(-4ab)=\)____________；
③.\((xy)^{3}\cdot(-x^{2}y)=\)____________；
④.\((-3a^{2}b)\cdot(-4ab)=\)____________；
⑤.\(2x^{2}y \cdot \cfrac{xy}{2} \cdot 10x^{3}y^{4}=\)____________；
⑥.\((-3a^{3}b)\cdot[-(\sqrt{6})^2 a^{5} b^{4}]=\)____________；
⑦.\((2\times10^{5})\times(6\times 10^{4})=\)____________；
- 单项式乘以多项式
(1).\(2x^{3}(3x^{2}+2y-1)\)
解:原式 \(=2x^{3}\cdot 3x^{2}+2x^{3}\cdot 2y-2x^{3}\cdot 1\)
\(=6x^{5}+4x^{3}y-2x^{3}\)
(2)\((-2x^{2})(x^{2}+3x-1)\)
解:原式 \(=(-2x^{2})\cdot x^{2}+(-2 x^{2})\cdot x+(-2 x^{2})\cdot(-1)\)
\(=-2 x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}\)
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\(2a^{3}(a^{2}-2b)=\)____________；
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\(x^{3}(x^{2}+2x-3)=\)____________；
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\((-3x)\cdot(x^{2}+4x+1)=\)____________；
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\(-(2m^{4}+3m-2)+(4m^{5}+6m^{2}-4)m\)____________；
-
\((2x+3y)(-5xy)=\)____________；
-
\((-x)^{2}(x^{2}+x-7)=\)____________；
- 多项式乘以多项式
(1).\((2x+3)(x-2)=2x^{2}-4x+3x-6=2x^{2}-x-6\)
(2).\((3a+5b)(2a-4b)=6 a^{2}-12 a b+10 a b-20 b^{2}\)
①.\((x-1)(x+2)\)
②.\((2a+b)(3m-3n)\)
③.\((4x+3y)(3x-4y)\)
④.\((\cfrac{1}{3}x+2y)(\cfrac{1}{3}x-3y)\)
⑤.\((a+b)(a-b)\)
⑥.\((a+b)^{2}\)
整式除法
- 单项式除以单项式
(1).\(28x^{4}y^{2}\div 7x^{3}y\)
(1-1).\(28x^{4}y^{2}\div (7x^{3}y)\)
(2).\(-5a^{5}b^{3}c\div 15a^{4}b\)
(3).\((2x^{2}y)^{3}\cdot(-7xy^{2})\div 14x^{4}y^{3}\)
(4).\(5(2a+b)^{4}\div(2a+b)^{2}\)
(5).\(6x^{7}y^{5}z\div16x^{4}y^{5}\)
(6).\((-0.5a^{3}b)^{5}\div(-\cfrac{1}{2}a^{3}b)^{2}\)
(7).\(\cfrac{1}{2}a^{5}b^{3}\div(-\cfrac{1}{4}a^{3}b)\cdot(-3a)^{2}\)
(8).\(5x^{3}y^{2}\div(-15xy)\)
(9).\(6x^{4}y^{3}z\div (3x^{2}y^{2})^{3}=\cfrac{6x^{4}y^{3}z}{(3x^{2}y^{2})^{3}}\)
- 多项式除以单项式
(1).\((12a^{3}-6a^{2}+3a)\div 3a\)
(2).\((21x^{4}y^{3}-35x^{3}y^{2}+7x^{2}y^{2})\div(-7x^{2}y)\)
(3).\([(x+y)^{2}-y(2x+y)-8x]\div 2x\)
(4).\([(-3xy)^{2}x^{3}-2x^{2}(3xy^{2})^{3}\cfrac{1}{2}y]\div 9x^{4}y^{2}\)
(5).\([(x+2y)(x-2y)+4(x-y)^{2}]\div 6x\)
- 提取公因式
(1).\(4a^{2}b^{2}-3ab^{2}+8ab^{3}c\)
(2).\(7(2x-3y)^{2}-14(2x-3y)^{3}+21(2x-3y)^{5}\)
(3).\(-\cfrac{1}{2}x^{2}+2xy-xz\)
(4).\(-10x^{3}y^{2}z^{3}-35xy^{3}z^{2}+15x^{2}yz\)
