分式方程
前言
方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。
通过方程求解可以免去逆向思考[小学阶段的算术就是一种逆向思考的代表]的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程\(2x-1=0\)、二元一次方程\(x-2y+1=0\)、一元二次方程\(x^2-2x-1=0\)等等，还可组成方程组求解多个未知数。
在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。
分式方程和整式方程统称有理方程。其中分式方程是分母含未知数的方程，如\(\cfrac{2x+1}{x^2-2}-\cfrac{3-x}{x+2}=1\)；整式方程是等号两边都为整式的方程，如\(x-2y=\cfrac{1}{3}x+1\)。
初等数学
小学阶段
整数、分数和小学的四则运算、数与代数、空间与图形、简单统计与可能性、一元一次方程，圆，正负数，立体几何初步。
初中阶段
代数部分：有理数（正数和负数及其运算），实数（根式的运算），平面直角坐标系，基本函数（一次函数，二次函数，反比例函数），简单统计，锐角三角函数，方程（一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，三元一次方程组），因式分解、整式、分式、一元一次不等式。
几何部分：全等三角形，四边形（重点是平行四边形及特殊的平行四边形），对称与旋转，相似图形（重点是相似三角形），圆的基本性质。
高中阶段
集合，基本初等函数（指数函数、对数函数，幂函数，高次函数），二次方程根的分布与不等式，柯西不等式，排列不等式，初等行列式，三角函数，解析几何与圆锥曲线（椭圆，抛物线，双曲线），复数，数列，高等统计与概率，排列组合，平面向量，空间向量，空间直角坐标系，导数以及相对简单的定积分。
解题步骤
① 去分母
方程两边同时乘以最简公分母最简公分母:①系数取最小公倍数;②未知数取最高次幂;③出现的因式取最高次幂;比如分母\(2xy\)和\(3x^2\)的最简公分母为\(6x^2y\);\(\quad\)，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。
② 移项
移项，若有括号应先去括号括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。去括号法则的依据实际是乘法分配律，要注意，括号前面是"-"时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号。若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生错误，遇到多层括号一般由里到外，逐层去掉括号。\(\quad\)，注意变号，合并同类项，把系数化为1，求出未知数的值；
③ 验根
求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，使用了转化划归思想，我们人为的去掉了分母，这样就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根中学阶段产生增根的数学变形有：两边去分母；两边平方；两边取掉对数；相应地，产生漏根的数学变形有：两边添分母；两边开平方；两边添加对数；。
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于\(0\)，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代入进去检验。比如\(\cfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1}=x-2\)；
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合实际问题的题意。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
★ 特别注意：
（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）増根使最简公分母等于\(0\)。
（4）分式方程中，如果\(x\)为分母，则\(x\)应不等于\(0\)。
典例剖析
分式方程
解:方程两边乘\((x-9)(x-5)\)，得\(x(x-5)-36=2(x-9)\)。
解得\(x_{1}=9\)，\(x_{2}=-2\)，
检验：当\(x=9\)时, \((x-9)(x-5)=0\)，
当\(x=-2\)时，\((x-9)(x-5)\neq 0\)，
所以原方程的解是\(x=-2\).
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是"去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
解：两边乘\(3(x+1)\)，
得到\(3x=2x+(3x+3)\)，
\(3x=5x+3\)，
\(-2x=3\)，
\(x=-\cfrac{3}{2}\)
经检验， \(x=-\cfrac{3}{2}\)是方程的解
解：两边乘\((x+1)(x-1)\)，
整理得到，\(2(x+1)=4\)
\(2x+2=4\)
\(2x=2\)
\(x=1\)
把\(x=1\)代入原方程，分母为0，所以\(x=1\)是增根。
所以原方程无解.
解: 两边乘\((x+3)(x-1)\)
整理得到，\(2x-2=x+3\)
\(2x-x=3+2\)
\(x=5\)
经检验，\(x=5\)是方程的解.
解：两边同时减\(\cfrac{1}{x-5}\)，得\(x=5\)，
代入原方程，使分母为\(0\)，所以\(x=5\)是增根，所以原方程无解！
检验格式：把\(x=a\)带入最简公分母，若\(x=a\)使最简公分母为\(0\)，则\(a\)是原方程的增根。若\(x=a\)使最简公分母不为零，则\(a\)是原方程的根。
注意：可凭经验判断是否有解。若有解，带入所有分母计算：若无解，带入无解分母即可。
关联高中
这个小例题基本上把分式不等式的求解思路都包含在内了。
【错解】：去分母得到\(x\leq 1\)，这是错误的，原因是分母可能取到正负两种可能。
【法1】：分类讨论去分母，由于\(x\neq 0\)，故原不等式等价于以下的两个不等式组：
\(\begin{cases}&x>0\\&1\ge x\end{cases}\)或\(\begin{cases}&x<0\\&1\leq x\end{cases}\)，解得\(0<x \leq 1\)。
【法2】：穿针引线法，移项得到\(\cfrac{1-x}{x}\ge 0\)，再变形得到\(\cfrac{x-1}{x}\leq 0\)，解得\(0<x \leq 1\)。
【法3】：转化法，由商的符号法则得到，\(\begin{cases}&x(1-x)\ge 0\\&x\neq 0\end{cases}\)，解得\(0<x \leq 1\)。
解后反思：受解方程的思维定势的影响，学生最容易想到法1，但是却往往注意不到不等式的性质而直接去分母出错；法2的解法很快速，但是对学生的要求比较高；法3比较慢。
提示：\(x<-1或x>1\).
