线段相等的证明思路

前言

[以下内容来源于网络，觉得这样的思路总结对学生的高考有用，故加以整理和综合，在此对原作者表示感谢]对包括初中证明线段相等在内的思路作以总结，主要的性质定理有三角形全等、角平分线性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三线合一等。

分类详述

(一).常用轨迹中:

①两平行线间的距离处处相等。

②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。

③角平分线上任一点到角两边的距离相等。

④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等。

(二).三角形中:

①同一三角形中，等角对等边。(等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等)

②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。

③任意三角形的内心到三边的距离相等。

④等腰三角形顶角的平分线(或底边上的高、中线)平分底边。

⑤直角三角形中，斜边的中点到三角形的三个顶点的距离都相等。

⑥有一角为${60}^{\circ }$的等腰三角形是等边三角形。

⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边[中位线性质定理]。

⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等。

(三).四边形中:

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且对角线的交点到四顶点的距离相等。

③菱形的四条边相等。

④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰[梯形中位线性质定理]。

(四).正多边形中:

①正多边形的各边相等。且边长$a_n=2R\cdot \sin (\frac{{180}^{\circ }}{n})$.

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②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径$R$)相等、各边的距离(边心距$r_n$)相等，且$r_n=R\cdot \cos (\frac{{180}^{\circ }}{n})$.

(五).圆中:

①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。

②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等。

③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分[垂径定理]。

④自圆外一点所作圆的两切线长相等。

⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。

⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分。

⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等(图6)。

配图说明：$\mathrm{\angle }OAC=\mathrm{\angle }OCA$，$\mathrm{\angle }{O}_{1}BC=\mathrm{\angle }{O}_{1}CB$(半径相等)，

$\mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }DCA=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }COA$(弦切角定理)，$\mathrm{\angle }DBC=\mathrm{\angle }DCB=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }C{O}_{1}B$(弦切角定理)，

由$\mathrm{\angle }CAD+\mathrm{\angle }DCA+\mathrm{\angle }DCB+\mathrm{\angle }DBC={180}^{\circ }$(三角形内角和定理)

可得$\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$，故$\mathrm{△}ACB$为$Rt\mathrm{△}$，且点$D$为斜边$AB$的中点。且$AD=CD=BD$。

⑧两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分。

(六).全等形中:

①全等形中，一切对应线段(对应的边、高线、中线、外接圆半径、内切圆半径，$\cdots$)都相等。

(七).线段运算:

①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。

②对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等。

③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为$1$，则此二线段相等。