线段比例式或等积式的证明思路
前言
分类详述
(一).比例的性质定理：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
(二).平行线中的比例线段：
①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例。
②平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
③平行于三角形的一边，且与其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如图所示，三条直线\(l_1//l_2//l_3\)，三条平行线与直线\(m\)分别相交于点\(A\)、\(B\)、\(C\)，与直线\(n\)分别相交于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，连结\(AE\)、\(BD\)、\(BF\)、\(CE\)，
根据平行线性质[等高]可得[利用等面积法]，\(S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DBE}\)，\(S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BEF}\)，
\(\cfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DBE}}=\cfrac{S_{\triangle BEC}}{S_{\triangle BEF}}\)，即\(\cfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle BEC}}=\cfrac{S_{\triangle DBE}}{S_{\triangle BEF}}\)，
根据等高三角形[\(\triangle ABE\)和\(\triangle BCE\)从顶点\(E\)所作的高线相同]的面积比等于底边的比，可得
由更比性质、等比性质可得，\(\cfrac{AB}{DE}=\cfrac{BC}{EF}=\cfrac{AB+BC}{DE+EF}=\cfrac{AC}{DF}\).
(三).三角形中比例线段：
①相似三角形中一切对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…)的比都相等，等于相似比。
②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。
③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项。
⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等。即\(\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin B}\)
⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍。如\(a^2\)\(=\)\(b^2\)\(+\)\(c^2\)\(-\)\(2b\cdot c\cdot \cos A\)
(四).圆中的比例线段:
圆幂定理:
①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。
(推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。)
②切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项。
③割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等。
(五).比例线段的运算：
①借助等比或等线段代换。
②运用比例的性质定理推导。
③用代数或三角方法进行计算。
