曼哈顿距离与切比雪夫距离

距离 - OI Wiki (oi-wiki.org)已经说的比较清晰，提取要点和结论便于复习使用。

曼哈顿距离： $d (A, B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$

切比雪夫距离： $d (A, B) = m a x (| x_{1} - x_{2} |, | y_{1} - y_{2} |)$

曼哈顿距离与切比雪夫距离的相互转化

结论：

曼哈顿坐标系是通过切比雪夫坐标系旋转 ${(45)}^{\circ}$ 后，再缩小到原来的一半得到的。
将一个点 (𝑥,𝑦) 的坐标变为 (𝑥+𝑦,𝑥−𝑦) 后，原坐标系中的曼哈顿距离等于新坐标系中的切比雪夫距离
将一个点 (𝑥,𝑦) 的坐标变为 $(\frac{x + y}{2}, \frac{x - y}{2})$ 后，原坐标系中的切比雪夫距离等于新坐标系中的曼哈顿距离

用处

切比雪夫距离在计算的时候需要取max，往往不是很好优化，对于一个点，计算其他点到该的距离的复杂度为O(n)
而曼哈顿距离只有求和以及取绝对值两种运算，我们把坐标排序后可以去掉绝对值的影响，进而用前缀和优化，可以把复杂度降为O(1)
注意到切比雪夫转曼哈顿中除法如果向下取整可能会使答案不正确，所以考虑先不除以2，最后求完答案再除以2也是一样的。

[曼哈顿距离与切比雪夫距离的互相转化 && 点对距离之和初步 - louis_11 - 博客园 (cnblogs.com)](https://www.cnblogs.com/qqq1112/p/15121123.html#:~:text=曼哈顿距离： %24Manhattandis (i%2C%24 %24j)%24 %24%3D%24 %24|x_i%24 %24-%24 %24x_j|%24,%24y1)

例题

1.https://leetcode.cn/problems/minimize-manhattan-distances/description/

题意：在二维平面上，给你若干个点。请你恰好移除一个点，返回移除后剩余任意两点之间的最大曼哈顿距离可能的最小值。

Solution:直接存入的转化为的切比雪夫距离,然后枚举删除的点，使用multiset维护x和y的所有取值，最大值就是当前剩余点中的max(最大x-最小x，最大y-最小y)

class Solution {
    #define pii pair<int,int>
   // #define int long long
    int cal(int x1,int x2,int y1,int y2){
       // cout<<x1<<" "<<x2<<" "<<y1<<" "<<y2<<endl;
        return max(abs(x1-x2),abs(y1-y2));
        
    }
public:
    int minimumDistance(vector<vector<int>>& points) {
        multiset<int>mstx;
         multiset<int>msty;
        multiset<pii>po;
        for(auto x:points){
        int y=x[0],w=x[1];
            int tx=y+w;int ty=y-w;
            po.insert({tx,ty});
            mstx.insert(tx);msty.insert(ty);
        }
        int ans=1e9;
       
        for(auto x:po){
                auto [y,w]=x;
                mstx.erase(mstx.find(y));
                msty.erase(msty.find(w));
                ans=min(ans,cal(*mstx.begin(),*mstx.rbegin(),*msty.begin(),*msty.rbegin()));
                mstx.insert(y);msty.insert(w);
              
        }
        return ans;
    }
};

曼哈顿转切比雪夫https://www.luogu.com.cn/problem/P5098

题意：给定若干二维平面的点，求其中两点的最大曼哈顿距离

Sol1:考虑存入变换后的坐标，然后直接最值相减取max即可

void solve(){
	cin>>n;
	vector<int>v1,v2;
	for(int i=0;i<n;i++){int x,y;cin>>x>>y;v1.push_back(x+y);v2.push_back(x-y);}
	int res1=*max_element(alls(v1))-*min_element(alls(v1));
	int res2=*max_element(alls(v2))-*min_element(alls(v2));
	cout<<max(res1,res2)<<endl;
}

Sol2:假如没学过这个套路，应该如何思考？

注：然后会发现以上两种思路的代码实现是一样的。

P3964 [TJOI2013] 松鼠聚会https://www.luogu.com.cn/problem/P3964

题意：有N个二位平面上的点，定义每一个点到其八连通的点的距离为1。选一个点，使得剩下所有点到该点的距离之和最小，求出这个距离之和。

Sol：本题是切比雪夫转曼哈顿来处理。注意到题目中给出的距离是切比雪夫距离的定义，要求距离之和我们考虑转化为曼哈顿以后利用排序和前缀和来处理。坐标转换的时候涉及除法，我们最后直接对答案除，不在中间计算过程除，防止精度损失。

具体实现：题意即为求切比雪夫距离之和最小，暴力的做法是 $O (N^{2})$ 的。考虑将切比雪夫距离转化为曼哈顿距离，我们将横纵坐标分开排序求前缀和，这样既可快速求出，以一个点为中心，其他点到这个点的曼哈顿距离之和。

具体的做法是将两个坐标分开讨论，每次找到当前点在排序后数组的位置p。
那么它前面的点坐标都小于当前点，累加的答案为 $p \times x [i] - s u m_{p}$ 。
后面的点的坐标都大于当前点，反过来累加答案，为 $(s u m_{n} - s u m_{p}) - (n - p) \times x [i]$

对所有的点都枚举一遍，取最小值即可，复杂度 $O (N l o g N)$

//切比雪夫转曼哈顿
void solve(){
	cin>>n;
	vector<pii>v1(n+1),v2(n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x,y;cin>>x>>y;
		v1[i]={x+y,i};
		v2[i]={x-y,i};
	}
	sort(alls(v1));
	sort(alls(v2));
	vector<int>ans(n+1);
	vector<int>pre1(n+1);
	vector<int>pre2(n+1);
	int s1=0,s2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		pre1[i]=pre1[i-1]+v1[i].fs;
		s1+=v1[i].fs;
		pre2[i]=pre2[i-1]+v2[i].fs;
		s2+=v2[i].fs;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int c1=v1[i].fs*(i-1)-pre1[i-1]+(s1-pre1[i])-(n-i)*v1[i].fs;
		c1=abs(c1);
		int c2=v2[i].fs*(i-1)-pre2[i-1]+(s2-pre2[i])-(n-i)*v2[i].fs;
		c2=abs(c2);
		ans[v1[i].sec]+=c1;ans[v2[i].sec]+=c2;
		
	}
	int res=*min_element(alls(ans));
	cout<<res/2<<endl;
}

针对上题的总结：

https://atcoder.jp/contests/abc351/tasks/abc351_e ABC351E

前置知识：坐标轴旋转后点的变换公式2.3.

逆变换公式建2.4

问题陈述

在坐标平面上有 $N$ 个点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{N}$ ，其中点 $P_{i}$ 的坐标为 $(X_{i}, Y_{i})$ 。
两点 $A$ 与 $B$ 之间的距离 $dist (A, B)$ 定义如下：

一只兔子最初位于点 $A$ 。
位置为 $(x, y)$ 的兔子可以跳跃到 $(x + 1, y + 1)$ 、 $(x + 1, y - 1)$ 、 $(x - 1, y + 1)$ 或 $(x - 1, y - 1)$ 。
$dist (A, B)$ 被定义为从 $A$ 点跳到 $B$ 点所需的最少跳跃次数。
如果经过任意次数的跳跃都无法从点 $A$ 到达点 $B$ ，则设为 $dist (A, B) = 0$ 。

计算总和 $\sum_{i = 1}^{N - 1} \sum_{j = i + 1}^{N} dist (P_{i}, P_{j})$ 。

Sol：考虑这样的移动方式难以计算，我们使用旋转变换

将平面相对于原点旋转 $45$ 度，并缩放 $\sqrt{2}$ 倍。然后，原先位于 $(X, Y)$ 的点移动到 $(X + Y, X - Y)$ 。
设 $(x_{i}, y_{i})$ 为经过此变换后各点 $P_{i}$ 的坐标。那么， $x_{i} = X_{i} + Y_{i}$ 和 $y_{i} = X_{i} - Y_{i}$ 。

接下来，我们来看看 $dist (A, B)$ 的定义是如何变化的。
在最初的定义中，兔子可以从 $(X, Y)$ 跳转到 $(X + 1, Y + 1)$ 、 $(X + 1, Y - 1)$ 、 $(X - 1, Y + 1)$ 和 $(X - 1, Y - 1)$ ；
因此，经过变换后，它可以从 $(X + Y, X - Y)$ 跳到 $(X + Y + 2, X - Y)$ 、 $(X + Y, X - Y + 2)$ 、 $(X + Y, X - Y - 2)$ 和 $(X + Y - 2, X - Y)$ 。
替换 $x = X + Y$ 和 $y = X - Y$ 后，可以从 $(x, y)$ 跳转到 $(x + 2, y)$ 、 $(x, y + 2)$ 、 $(x, y - 2)$ 和 $(x - 2, y)$ 。
从 $A$ 到达 $B$ 所需的最少跳转次数就是 $dist (A, B)$ 的定义（如果无法到达，则为 $0$ ）。

下面，我们考虑变换后的问题。
也就是说，我们设 $P_{i} = (x_{i}, y_{i})$ ，定义 $dist (A, B)$ ，并考虑和 $\sum_{i = 1}^{N - 1} \sum_{j = i + 1}^{N} dist (P_{i}, P_{j})$ 与上述 $dist (A, B)$ 的定义。
显然，这样得到的答案与原答案相同。

我们进一步将 $dist (A, B)$ 视为 $A = (x_{1}, y_{1})$ ， $B = (x_{2}, y_{2})$ 。如果是 $x_{1} ≢ x_{2} (\mod 2)$ 或 $y_{1} ≢ y_{2} (\mod 2)$ ，兔子就无法从 $A$ 到达 $B$ ，因此是 $dist (A, B) = 0$ 。否则，计算结果正好是曼哈顿距离的一半，即 $\frac{1}{2} (| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |)$ 。

注意到所有 $i$ 的 $x_{i} = y_{i} + 2 Y_{i} \equiv y_{i} (\mod 2)$ ， $N$ 个点可以分为两组： $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 都是偶数，或者 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 都是奇数。属于不同组的两个点 $A$ 和 $B$ 为 $dist (A, B) = 0$ ；属于同一组的两个不同点为 $dist (A, B) = \frac{1}{2} (| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |)$ 。

不失一般性，我们考虑计算变换后的x都是偶数的情况，对于这样的点我们直接先对x排序，利用前缀和计算答案，这个计算方式在前面题目已经涉及。再给出一种方式，看贡献次数。假设下标从0开始，排序后后的元素 $x_{j}$ 对前面的贡献是j*a[i],对后面的贡献是 $- a [i] \times (s z - j - 1)$ ,两项合并加起来就是答案。

将同样的讨论应用于 $y$ 坐标，可以求出 $\sum_{i = 1}^{| E | - 1} \sum_{j = i + 1}^{| E |} dist (P_{E_{i}}, P_{E_{j}})$ ；将同样的讨论应用于奇数 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 的组，可以求出最终的和。

对两组的坐标 $x$ 和 $y$ 进行排序需要花费 $O (N \log N)$ 时间，剩下的计算花费可以在 $O (N)$ 时间内完成，所以这个问题总共可以在 $O (N \log N)$ 时间内解决，速度足够快。因此，问题已经解决。

vector<int>a[4];
void solve(){
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		int x,y;cin>>x>>y;
		if((x+y)%2){
			a[0].push_back(x+y);
			a[1].push_back(x-y);
		}
		else {
			a[2].push_back(x+y);
			a[3].push_back(x-y);
		}
	}
	for(int i=0;i<4;i++)sort(alls(a[i]));
	int ans=0;
	for(int i=0;i<4;i++){
		int sz=a[i].size();
		for(int j=0;j<sz;j++){
			ans+=a[i][j]*(2*j+1-sz);
		}
	}
	cout<<ans/2<<endl;
}

思路总结：坐标旋转转化为常规曼哈顿，注意到移动距离变成2倍，造成的影响有最后答案要除2以及横纵坐标之间必须mod2相同才可达。值得注意的是在这样变换下，一个点的横坐标和纵坐标一定是mod2同余的。

k维空间有n个点，求 k维曼哈顿距离最大值。首先从某ioi题目中得知：当k维曼哈顿转换成切比雪夫，变化的复杂度较高且不是线性。我们只能另寻他法。

https://vjudge.net/problem/POJ-2926

题意：给定若干五维点，求其中的两点之间的最大曼哈顿距离值

Sol:我们仔细对于二维的情况刨析，也就是前面的题目说没有套路的时候的思考方式，发现我们可以枚举正负号。比较关键的一点是减数与被减数在我们钦定符号后一定可以同构。

db a[N][6];
void solve(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=0;j<5;j++){
		cin>>a[i][j];
	}
}

db ans=0;
for(int i=0;i<32;i++){
	//初始化需要设置无穷，可能全是负的状态
	db mx=-1e13,mn=1e13;
	vector<db>sg(5);
	for(int j=4;j>=0;j--){
		if((i>>j)&1)sg[j]=1.0;
		else sg[j]=-1.0;
	}
	// cerr<<i<<endl;
	// for(auto x:sg)cerr<<x<<" ";
	// cerr<<endl;
	for(int j=1;j<=n;j++){
		db tmp=0;
		for(int k=0;k<5;k++){
			tmp+=sg[k]*a[j][k];
		}
		mx=max(mx,tmp);
		mn=min(mn,tmp);
	}
	ans=max(ans,mx-mn);
}
baoliu(ans,2);
}

k维曼哈顿距离的应用https://vjudge.net/problem/HDU-6435#author=GPT_zh

题意：n个主武器，m个副武器，每个武器有一个得分，和k个属性。现在你要最大化下面这个式子。

也就是需要得分相加大，属性相差绝对值大，且两者和加起来大。注意满足的优先级。

int a[N][10];
int b[N][10];
void solve(){
	    int k;
       cin>>n>>m>>k;
       for(int i=1;i<=n;i++){
       	int x;cin>>x;a[i][0]=x;
       	for(int j=2;j<k+2;j++)cin>>a[i][j];
       }
       for(int i=1;i<=m;i++){
       	int x;cin>>x;b[i][1]=x;
       	for(int j=2;j<k+2;j++)cin>>b[i][j];
       }
      ll ans=0;
     
       for(int s=0;s<(1<<(k+2));s++){
     ll tmp=0;
      ll mx1=-1e18,mn1=1e18;
      ll mx2=-1e18,mn2=1e18;
      for(int i=1;i<=n;i++){
      tmp=0;
      	for(int j=0;j<k+2;j++){
      		if((s>>j)&1)tmp+=a[i][j];
      		else tmp-=a[i][j];
      	}
      	 mx1=max(tmp,mx1);mn1=min(tmp,mn1);
      }
      for(int i=1;i<=m;i++){
      	tmp=0;
      	for(int j=0;j<k+2;j++){
      		if((s>>j)&1)tmp+=b[i][j];
      		else tmp-=b[i][j];
      	}
      	mx2=max(tmp,mx2);mn2=min(tmp,mn2);
      }
      ans=max({ans,mx2-mn1,mx1-mn2});
      
       }
       cout<<ans<<endl;
}

未完待续...

https://www.luogu.com/article/hxr7p6po

https://www.luogu.com.cn/problem/P4648

曼哈顿距离最小生成树 - GGBeng - 博客园 (cnblogs.com)

论一类平面点对曼哈顿距离问题 - 百度文库 (baidu.com)

浅谈信息学竞赛中的“0”和“1” - 道客巴巴 (doc88.com)

__EOF__

本文作者：爱飞鱼
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posted @ 2024-05-18 15:51 potential-star 阅读(1247) 评论(0) 编辑收藏举报

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曼哈顿距离与切比雪夫距离

发表于 2024-05-18 15:51阅读：1247评论：0推荐：0

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