二分图最大匹配——网络流

二分图最大匹配可以转换成网络流模型。

将源点连上左边所有点，右边所有点连上汇点，容量皆为1。原来的每条边从左往右连边，容量也皆为1，最大流即最大匹配。

如果使用 Dinic 算法 求该网络的最大流，可在O(sqrt(n) * m)求出。

#define N 1010
#define M 2000010
int n,m,k,S,T;
struct edge{int v,c,ne;}e[M];
int h[N],idx=1; //从2,3开始配对
int d[N],cur[N];

void add(int a,int b,int c){
  e[++idx]={b,c,h[a]};
  h[a]=idx;
}
bool bfs(){ //对点分层，找增广路
  memset(d,0,sizeof d);
  queue<int>q; 
  q.push(S); d[S]=1;
  while(q.size()){
    int u=q.front(); q.pop();
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
      int v=e[i].v;
      if(d[v]==0 && e[i].c){
        d[v]=d[u]+1;
        q.push(v);
        if(v==T)return true;
      }
    }
  }
  return false;
}
int dfs(int u, int mf){ //多路增广
  if(u==T) return mf;
  int sum=0;
  for(int i=cur[u];i;i=e[i].ne){
    cur[u]=i; //当前弧优化
    int v=e[i].v;
    if(d[v]==d[u]+1 && e[i].c){
      int f=dfs(v,min(mf,e[i].c));
      e[i].c-=f; 
      e[i^1].c+=f; //更新残留网
      sum+=f; //累加u的流出流量
      mf-=f;  //减少u的剩余流量
      if(mf==0)break;//余量优化
    }
  }
  if(sum==0) d[u]=0; //残枝优化
  return sum;
}
int dinic(){ //累加可行流
  int flow=0;
  while(bfs()){
    memcpy(cur, h, sizeof h);
    flow+=dfs(S,1e9);
  }
  return flow;
}
int main(){
  int a,b,c;
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);//左边n个点，右边m个点，k条边
  while(k--){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    add(a,b+n,1);add(b+n,a,0);
  }
  S=0;T=n+m+1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    add(S,i,1),add(i,S,0);
  for(int i=1;i<=m;i++)
    add(i+n,T,1),add(T,i+n,0); 
  printf("%lld\n",dinic());
  return 0;
}

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本文作者：爱飞鱼
本文链接：https://www.cnblogs.com/mathiter/p/17889393.html
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