Day5 备战CCF-CSP练习

题目描述#

给定 $n$ 个不同的整数，问这些数中有多少对整数，它们的值正好相差 $1$。

输出格式#

输入的第一行包含一个整数 $n$，表示给定整数的个数。

第二行包含所给定的$n$ 个整数。

输出格式#

输出一个整数，表示值正好相差 $1$ 的数对的个数。

数据范围#

$1\le n\le 1000$,给定的整数为不超过 $10000$ 的非负整数。

输入样例：#

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6
10 2 6 3 7 8

输出样例：#

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3

样例解释#

值正好相差 $1$ 的数对包括 $(2,3),(6,7),(7,8)$
。

题目分析#

语法题

C++代码#

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N];
int res = 0;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
        cin >> a[i];
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
        for(int j = i + 1 ; j < n ; j ++)
            if(abs(a[i] - a[j]) == 1) 
                res ++ ;
    
    cout << res << '\n';
    return 0;
}

题目描述#

在一个定义了直角坐标系的纸上，画一个 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$的矩形指将横坐标范围从 $x_1$ 到 $x_2$，纵坐标范围从 $y_1$ 到 $y_2$ 之间的区域涂上颜色。

下图给出了一个画了两个矩形的例子。

第一个矩形是 $(1,1)$ 到 $(4,4)$，用绿色和紫色表示。

第二个矩形是 $(2,3)$ 到 $(6,5)$，用蓝色和紫色表示。

图中，一共有 $15$ 个单位的面积被涂上颜色，其中紫色部分被涂了两次，但在计算面积时只计算一次。

在实际的涂色过程中，所有的矩形都涂成统一的颜色，图中显示不同颜色仅为说明方便。

给出所有要画的矩形，请问总共有多少个单位的面积被涂上颜色。

输入格式#

输入的第一行包含一个整数 $n$，表示要画的矩形的个数。

接下来 $n$ 行，每行 $4$个非负整数，分别表示要画的矩形的左下角的横坐标与纵坐标，以及右上角的横坐标与纵坐标。

输出格式#

输出一个整数，表示有多少个单位的面积被涂上颜色。

数据范围#

$1\le n\le 100,0\le \mathrm{横}\mathrm{坐}\mathrm{标}、\mathrm{纵}\mathrm{坐}\mathrm{标}\le 100$

输入样例：#

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2
1 1 4 4
2 3 6 5

输出样例：#

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15

题目分析#

暴力/二维前缀和
暴力就不说了，讲一下优化

二位前缀和，我们将矩形中每一个点都当成前缀和的点，那么，我们只需要将顶点标注一下，就可以利用前缀和的性质画出整个矩形

如图一，蓝色是要画的目标矩形

那么怎么构建差分数组呢
根据前缀和公式f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][j] - f[i - 1][j - 1] + a[i][j]
其中f[i][j - 1] + f[i - 1][j] - f[i - 1][j - 1]都是以$(i,j)$为最右下的顶点的矩形面积（差分数组的矩形），问题是我们怎么通过控制顶点的a[i][j]来控制矩阵的大小。

红色点是矩形的左上角，在此之前的所有点都为$0$，那么前缀和自然也为$0$，那么a[x1][y1] = 1，到了橘色点，矩形已经结束了，可是前缀和依然为$1$，因此a[x2 + 1][y1] = -1，同理另一个橘色点a[x1][y2 + 1] = -1 ，到了紫色点，由于两个橘色点，紫色点的前缀和为$-1$，所以a[x2 + 1][y2 + 1] = 1

然后推广就可以了，利用前缀和性质，只要不是$0$的点就是覆盖的点，求面积即可

构造差分数组 $\to$ 前缀和构建矩形 $\to$ 再次前缀和求覆盖面积

C++ 代码#

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int f[N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int a , b , x , y;
        cin >> a >> b >> x >> y;
        a ++ , b ++ ;
        f[a][b] += 1;
        f[x + 1][b] -= 1 , f[a][y + 1] -= 1;
        f[x + 1][y + 1] += 1;
    }
    
    for(int i = 1 ; i < N ; i ++)
        for(int j = 1 ; j < N ; j ++)
            f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
    
    for(int i = 1 ; i < N ; i ++)
        for(int j = 1 ; j < N ; j ++){
            if(f[i][j]) f[i][j] = 1;
            f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
        }    
        
    cout << f[N - 1][N - 1];        
    
    
}