矩阵快速幂

矩阵快速幂

一类经常出现在优化问题中的数学方法

快速幂#

给定 $a,b,p$ , 求出 $a^b\mathrm{mod}p$ 的值
其中$1\le a,b,p\le 2\times {10}^9$
对于这种求极大数的乘方问题，我们都利用快速幂来解决
设$b=\sum b_i$
可以得到 $a^b=a^{\sum b_i}=\prod a^{b_i}$
对于$b$的拆分我们使用二进制拆位的思想，这样$b$会拆成$2^{x_0}+2^{x_1}+...+2^{x^n}$的形式
那么对于计算有什么好处呢
对于连续的$x_1=x_0+1$而言，$a^{2^{x_1}}=a^{2^{x_0+1}}=a^{2\ast 2^{x_0}}=(a^{2^{x_0}}{)}^2$
这样我们就可以迭代了

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a = a * a;

$n$次幂的计算时间复杂度由$O(n)$降至$O(logn)$

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LL qmi(int a ,int b ,int p)
{
    LL res = 1 % p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = (LL) a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

然后是矩阵快速幂的问题
我们知道幂运算不只是对实数域有用，复数域，矩阵同样适用
对于$A^k$的计算，优化思路是相同的，对于$k$进行二进制分解，只不过乘法面对的不再是数字，而是矩阵
所以运算符重载和定义乘法函数均可

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void mul(int c[][N] , int a[][N] , int b[][N]) // c = a * b
{
    static int t[N][N];
    
    memset(t , 0 , sizeof t);
    for(int i = 0 ; i < N ; i ++)
        for(int j = 0 ; j < N ; j ++)
            for(int k = 0 ; k < N ; k ++)
                t[i][j] = (t[i][j] + (LL) a[i][k] * b[k][j]) % p;
    
    memcpy(t , c , sizeof t);
}

void qmi(int a[][N] , int n)
{
    int res[N][N];
    for(int i = 0 ; i < N ; i ++)
        res[i][i] = 1;
    
    while (n)
    {
        if (n & 1) mul(res, res, w);
        mul(w, w, w);
        n >>= 1;
    }
}

然后就是针对实际问题了
比如求$Fibonacci$数列
我们知道$Fibonacci$的递推式
$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$
那我们构造一个向量$F_n=\left[\begin{array}{cc}{f}_n& f_{n+1}\end{array}\right]$
可知$F_{n+1}=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n+1}& f_{n+2}\end{array}\right]$
那么 $F_{n+1}=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n+1}& f_n+f_{n+1}\end{array}\right]$
改写成矩阵形式$F_{n+1}=\left[\begin{array}{cc}{f}_n& f_{n+1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$
即$F_{n+1}=F_n\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$
可得$F_n=F_0{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^n$
剩下就可以交给快速幂了

这样由原来的$O(n)$ 优化到了$O(logn)$