举三反一，通过例子归纳的学习方式

show case

input

[
  'a/f/e.md',
  'b/d.md'
]

output

[
  [
    "a",
    [
      [
        "f",
        [
          "a/f/e.md"
        ]
      ]
    ]
  ],
  [
    "b",
    [
      "b/d.md"
    ]
  ]
]

first, traverse 'a/f/e.md'

1. it is a branch, append 'a'

[  <- cursor is init here

]

+ 

[
  'a',
  [ 

  ]
]

=

[
  [
    'a',
    [  <- cursor is here now

    ]
  ]
]

2. it is a branch, append 'f'

[
  [
    'a',
    [  <-cursor is  keep here

    ]
  ]
]

+ 

[
  'f',
  [ 

  ]
]

= 

[
  [
    'a',
    [ 
      [
        'f',
        [   <- cursor is here now

        ]
      ]
    ]
  ]
]

3. it is a leaf, append 'a/f/e.md'

[
  [
    'a',
    [ 
      [
        'f',
        [   <- cursor is keep here

        ]
      ]
    ]
  ]
]

+ 
'a/f/e.md'  value

= 

[
  [
    'a',
    [ 
      [
        'f',
        [   <- cursor is keep here
          'a/f/e.md'
        ]
      ]
    ]
  ]
]

second, traverse 'b/d.md'

1. it is a branch, append 'b'

[  <- cursor is here again
  [
    'a',
    [ 
      [
        'f',
        [  
          'a/f/e.md'
        ]
      ]
    ]
  ]
]

+

[
  'b',
  [ 

  ]
]

= 

[  
  [
    'a',
    [ 
      [
        'f',
        [  
          'a/f/e.md'
        ]
      ]
    ]
  ],
  [
    'b',
    [  <- cursor is here now
    
    ]
  ]
]

2. it is a leaf, append 'b/d.md'

[  
  [
    'a',
    [ 
      [
        'f',
        [  
          'a/f/e.md'
        ]
      ]
    ]
  ],
  [
    'b',
    [  <- cursor is keep here
    
    ]
  ]
]

+ 

'b/d.md'

= 

[  
  [
    'a',
    [ 
      [
        'f',
        [  
          'a/f/e.md'
        ]
      ]
    ]
  ],
  [
    'b',
    [  <- cursor is keep here
      'b/d.md'
    ]
  ]
]

举三反一

我希望你看到这里了，因为如果你是一个好奇的人，这里是我放的彩蛋。我们常常希望学习中有举一反三的能力，但是为了得到举一反三的能力，我们常常要反其道而行之，使用举三反一的教学方式。我在这里放几个低龄的案例，我没有数据支撑这些案例是否行之有效，但是我至少可以说，案例在交互对象看来是有趣的，并且我希望这种有趣的举三反一，埋下了它应该有的种子。

位数

“10里面的0是什么位？“
“个位。”
“1呢？”
“十位。”
“那么10是几位数？”
“10位数啊！”

不对劲，问:“ 9是几位数？”
“个位数啊！”

额，“123的3是什么位？”
“个位”
“2呢？”
“十位。”
“1呢？”
“百位。”
“那它是几位数？”
“百位数啊？”

“8是什么位？”
“个位。”
“ 你看，8只有一个个位，所以是1位数。”

“17的7是什么位？”
“个位”
“1呢？”
“十位。”
“你看，17有个位和10位两个位，所以是2位数。”

“126的6是什么位？”
“个位。”
“2呢？”
“十位。”
“1呢？”
“百位。”
“你看，126只有个位，十位，百位三个位，是3位数。”
“哦，我懂了。”

“好，那最大的两位数是多少？”
“额，100？”
“喂！最大的个位数多少？”
“这个简单，9。”
“最大的两位数多少？”
“99！”
“最大的三位数多少？”
“999！”
“最大的四位数呢？”
“9999！”

“好，换一个，最小的个位数多少？”
“0！”
“最小的两位数呢？”
“1 0！”
“最小的三位数呢？”
“100！”
“最小的四位数呢？”
“1000！”
“10000是最小的几位数？”
“1，2，3，4，5最小的5位数！”

“好了，你可以继续做作业了，居然不知道什么是2位数…”
“哼，今天老师刚教一点点，还没说到这个几位数，只分了个十百…。”
“是么，做完了叫我。”

大马哈过河

“小马过河的故事听说过么”
“这个早就听过了”
“你听过？那你说下这个故事”
“就是，从前有一只小马，它过河的时候，不知道水深浅，于是...”

“好吧，小马过河的故事你听过了，那今天就讲一个大马过河的故事”
“啥，还有大马过河的故事”
“不只是大马，这只大马还叫大马哈呢”
“哈哈哈”

“从前，有一只叫大马哈的大马，大马哈来到了一条河，这条河叫做流沙河。”
“怎么是西游记里的流沙河，哈哈”
“这不是西游记，是大马哈故事里的流沙河！”
“明明就是！”
“这条河只有一座桥，这座桥最多只能承重15斤，而大马哈自己有10斤，它的行李有4斤，并且这只大马哈路上遇到了一只小老虎，这只小老虎胆子小，必须跟着大马哈才敢过桥，小老虎有5斤。”
“你说，一共需要几趟才能过桥？”
“一趟？”
“不对，这个桥只能承重15斤，如果全部过桥，大马哈+行李+小老虎总共几斤？”
“哦，一共19斤，不能过去”
“那么是两趟？可以小老虎先过去，然后大马哈和它的行李一起过去？”
“不对吧，那小老虎胆子小，必须大马哈带着才行”
“额，那就只能大马哈带着行李先过去，然后大马哈再过来带小老虎去，一共是，3趟！”
“对了，是3趟”

“大马哈继续往前走，走啊走，又遇到了一只小狮子，小狮子就和小老虎一起边玩边走。他们又遇到了一条河，你猜，这条河叫什么名字？”
“不知道”
“嘿嘿，刚好，这条河叫通天河”
“不对，通天河是西游记里的”
“哪里哪里，这是大马哈故事里的，不是西游记的”
“通天河就是西游记！”
...
“反正通天河上面刚好也只有一座桥，这座桥只能承重16斤，而小狮子有6斤，你说他们这下过河要几次？偷偷告诉你，这条小狮子也胆小，只敢这个大马哈一起过桥！”
“四次？”
“不对哦”
“五次？”
“对了，为什么是五次呢？”
“因为，大马哈带行李过去，回来带老虎过去后，要再回来一次，最后带狮子过去，一共是五次。”
“答对！”

“话说，大马哈就带着行李、小老虎、小狮子继续往前走。你猜发生了什么？”
“它们不会又遇到什么动物了吧？”
“猜对！大马哈、小老虎、小狮子、又遇到了一只小野豹！”
“不会这只小野豹也胆小吧。。”
“嘿嘿，是的，它就是一只胆小的小野豹，反正小老虎、小狮子、小野豹仨就欢快的边走边玩了”
“大马哈带着小老虎、小狮子、小野豹继续往前走啊走，你猜遇到了什么？”
“哈哈哈，又遇到了一条河？”
“没错，你猜这条河叫什么名字？”
“快说快说！”
“这条河呢，就叫做大-沙-河！”
“哈哈，大沙河，怎么可能是大沙河。。”
“...”
“反正，就是大沙河了，这个大沙河上又有一座桥，并且只能承重17斤，然后你只小野豹，有7斤吧”
“我知道了，它们过去要7趟！”
“为什么是7趟？”
“你看原来没有小野豹的时候，需要5趟嘛，现在增加两趟就要7趟。”
“增加的两趟是哪里来的？”
“就是，大马哈把行李、小老虎、小狮子都带过桥后，它再返回来一下，再带小野豹过去一次，总共多出来两趟哈。”
“对了，对了，大马哈的故事就是这样的，可以睡觉了。”
“哼，这么短！”
“。。。”

几个两位数

(A)
多米: 21，22，23，24…，不对，数错了，重新数，1，2，3…21，22，23…
我: 多米你在数什么？
多米: 在数100里有几个两位数啊。
我: 你前面不是刚数过100里有几个1位数么？
多米:对啊，9个嘛。
我:那你为什么一个一个数两位数？
多米:是啊，题目就是问有几个两位数，要不然怎么数？
我:等下，你先算第三个小题。
多米: 有几个三位数？那，不就是只有一个100么？(不确定状)。
我: 对，就一个100。(儿童在学习新概念中经常会不确定，即使看上去很显然)
我: 那么，你说1到100之间有几个数？(特意指明区间:1到100)
多米:不就是100个么？(在多次提问中，他会每个回答都带有不确定性)
我: 对啊，一共100个。那么，你说1到100之间，除了一位数，和三位数，剩下的是什么？
多米:是…，两位数？
我:对，那你说两位数有几个？
多米: [饥饿] ，80个？(儿童喜欢用猜的，在不确定的情况下，会用各种猜答案的方式)
我: 什么80，又乱猜。你先算下一位数和三位数总共几个？
多米: 一位数有9个，三位数只有一个100，那不就是10个么！(这个倒是确定)。
我:对，然后1到100一共多少个数？
多米: 一共100个啊？
我:对，这100个除了一位数，三位数，剩下的是什么数？
多米:两位数，哦，我知道了我知道了？
我:你知道了什么？(意图他自己说出来)
多米:一共100个，去掉10个，剩下…(思考，停顿)…一共90个！
我: 90个怎么来的？(再次确认)
多米: 你看，就是100个嘛，减去9个一位数和一个三位数一共10个，100减去10不就等于90！
我:嗯，没错，那你前面在傻傻数什么？数那么久还数不出来？
多米:我第一遍数错了，重新数嘛，不过现在不用数了！
我:你确定会了么？我再问你一个，1到1000里有几个一位数？(他已经能计数到千，万，所以可以扩大范围重复举例)
多米:1，2，3，…9，10，一共10个！
我:喂，哪来10个！(有趣的是，每次需要重新数，重新数的时候会再犯低阶错误，这是正常的)
多米:不对，10不是，一共9个！
我: 你说10以内有几个一位数？
多米:1，2，3…9，9个！
我，那100以内有几个一位数？
多米: 有…啊，原来一位数不会变多，还是9个！(发现了位置不变，不错)
我:那1000以内有几个一位数呢？(again，重复确认)
多米:哈哈，还是9个。
我:好，那1000以内几个两位数？
多米:额，两位数？
我:100以内几个两位数？(回溯到已经算过的)
多米:前面算过了啊，9，90个！
我:对，90个。那么1000以内有几个两位数？
多米:哈哈，也还是90个，没有变多！
我:对了，你发现了吧。
我:那么1000以内有几个三位数？
多米:额，不知道啊，这怎么算。
我:额，1000以内有几个四位数？
多米:四位数？哪里有四位数？
我:你说10是几位数？
多米:两位数啊！
我:100呢？
多米:三位数啊？
我:1000呢？
多米:哦！4位数！那就只有一个4位数！
我:对了。那么1000以内除了一位数，两位数，四位数，剩下的是什么？我们把它写下来吧，免得你记不住，你来写。
多米: 哼，好吧。
我:1，2，3，4我帮你写了，你圈一下，把1000以内每个数位有几个数写在它们头上。
多米:…
我:好，你看一位数有几个？
多米:9个。
我:两位数呢？
多米:90个
我:四位数呢？
多米:1个！
我:1到1000一共几个数？
多米:1000个！
我:1000以内的一位数加两位数加四位数一共多少个？
多米:哦！一共100个！
我:所以…
多米:我知道了，三位数有1000减去100，剩下…(停顿，计算)…900个！
我:对了，不错，那我现在算个10000以内的。
多米:10000！这么多啊(做哭脸状)
我:对，10000，你说10000以内几个一位数？
多米:哼，9个！没变。
我:几个两位数？
多米:90个！
我:几个三位数？
多米:9，…900个！
我:你写下来，等下忘记了。
多米:又要写…
我:有几个5位数？
多米:一个。
我:那么一位数，加两位数加三位数，加五位数一共几个？
多米:加加加，就知道加…，一共1000个。
我:那剩下几个四位数？
多米:啊，…(停顿，停顿，计算)…9，9000个？(不确定中)
我:对了，好，这次就这样吧。(其实，他可能睡一觉就又忘记这些了)

记录下来，是我怕不写下来就忘记了这过程:)
again,again,and again.

备注: 从《The Little Scheme》这本书里，我学到了这种自底向上的举三反一的教学方式，并且我认识到知识的构建中，很多时候我们需要不厌其烦的重复、重复、再重复，从多个维度去重复，不厌其烦的展示不同维度下知识结构的复现，这样教学对象可以在这个过程中有一个经提示的自我再发现的过程。我希望这使得知识的构建变得立体、对于教学对象来说，有「意义」，你说呢？

证据1: 观看这个小学一年级连加的教学视频，专业的小学一年级教师的整个教学过程符合这个思想：https://v.qq.com/x/page/b0568uvdlsn.html ，这个过程和计算机的计算思维是一样的，again,again,and again. 但是这个教学限制了小朋友只学了10以内的数字，如果一个小朋友已经有百、千、万的概念，就可以像我上面的例子那样，在数据的维度上纵向扩展，这样的扩展会有一些挑战。

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