#GPT辅助学习 算数平均数与几何平均数不等式
要证明表面积相同时，正方体的体积比长方体的体积大，可以通过比较它们的体积公式来证明。以下是详细的证明过程：
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设定变量：
- 设正方体的边长为 \(a\)。
- 设长方体的长、宽、高分别为 \(l\)、\(w\)、\(h\)。
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表面积公式：
- 正方体的表面积 \(S_{\text{cube}} = 6a^2\)。
- 长方体的表面积 \(S_{\text{rect}} = 2(lw + lh + wh)\)。
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设表面积相等：
由于表面积相等，所以有：\[6a^2 = 2(lw + lh + wh) \]简化得到：
\[3a^2 = lw + lh + wh \] -
体积公式：
- 正方体的体积 \(V_{\text{cube}} = a^3\)。
- 长方体的体积 \(V_{\text{rect}} = lwh\)。
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利用均值不等式：
我们利用算术平均数和几何平均数不等式 (AM-GM Inequality)，对于非负数 \(lw\)、\(lh\)、\(wh\) 来说，有：\[\frac{lw + lh + wh}{3} \geq \sqrt[3]{(lw)(lh)(wh)} \]由表面积相等条件 \(3a^2 = lw + lh + wh\)，代入上式得到：
\[\frac{3a^2}{3} \geq \sqrt[3]{(lw)(lh)(wh)} \]简化得到：
\[a^2 \geq \sqrt[3]{(lw)(lh)(wh)} \]两边取平方根：
\[a \geq \sqrt[3]{lwh} \] -
比较体积：
由上式可知：\[a^3 \geq lwh \]即：
\[V_{\text{cube}} \geq V_{\text{rect}} \]
由此可见，当表面积相同时，正方体的体积 \(a^3\) 总是大于或等于长方体的体积 \(lwh\)。特别地，当长方体退化为正方体（即 \(l = w = h = a\)）时，等号成立。因此，正方体的体积比长方体的体积大。
