[多项式下降幂][组合][二项式定理]luogu P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

题面

https://www.luogu.com.cn/problem/P6620

求 $(\sum_{k=0}^n f(k) \times x^k \times \binom{n}{k})mod\space P$

其中 $f(k)$ 是给定的 m 次多项式

分析

 这种多项式放在乘积里的有两种思路，一种是拆单项，另一种是转下降幂/上升幂

这题后面还有个 k 相关的组合数，果断转下降幂了，假设转好的下降幂多项式为 $g(x)=\sum_{i=0}^m b_i x^{\underline{i}}$

由 $x^i=\sum_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix} x^{\underline{j}}$ 得

$f(x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i = \sum_{i=0}^m a_i \sum_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix} x^{\underline{j}}$

$f(x)=\sum_{j=0}^m x^{\underline{j}} \sum_{i=j}^m \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix} a_i$

即 $b_i=\sum_{j=i}^m \begin{Bmatrix}j\\i\end{Bmatrix} a_j$

原式变为 $\sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^m b_i k^{\underline{i}} x^k \binom{n}{k}$

$\sum_{i=0}^m b_i \sum_{k=0}^n k^{\underline{i}} x^k \binom{n}{k}$

对于下降幂和组合数，有

$k^{\underline{m}} \binom{n}{k}=n^{\underline{m}} \binom{n-m}{k-m}$ 

用组合数通项与下降幂公式易证

则 $\sum_{i=0}^m b_i \sum_{k=0}^n x^k n^{\underline{i}} \binom{n-i}{k-i}$

把 $n^{\underline{i}}$ 整理到前面

$\sum_{i=0}^m b_i n^{\underline{i}} \sum_{k=0}^n x^k \binom{n-i}{k-i}$

将枚举 k 改为枚举 k-i

$\sum_{i=0}^m b_i n^{\underline{i}} \sum_{k=0}^{n-i} x^{k+i} \binom{n-i}{k}$

$\sum_{i=0}^m b_i n^{\underline{i}} x^i \sum_{k=0}^{n-i} x^k \binom{n-i}{k}$

易发现二项式定理的形式

$\sum_{i=0}^m b_i n^{\underline{i}} x^i (x+1)^{n-i}$

这就是最终式子了，预处理出来就只需要 $O(m)$ 统计答案，加上斯特林数暴力递推转下降幂 $O(m^2)$

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+10;
int n,m;
ll S[N][N],dexp[N],p,b[N],a[N],x[N],x_1[N],ans;

ll Pow(ll x,ll y) {ll ans=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%p) if (y&1) ans=ans*x%p;return ans;}

int main() {
    scanf("%d%lld%lld%d",&n,&x[1],&p,&m);
    for (int i=0;i<=m;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    S[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=0;j<=i;j++)
            S[i][j]=(S[i-1][j]*j%p+(j?S[i-1][j-1]:0))%p;
    x[0]=dexp[0]=1;dexp[1]=n;
    for (int i=2;i<=m;i++) x[i]=x[i-1]*x[1]%p,dexp[i]=dexp[i-1]*(n-i+1)%p;
    x_1[m]=Pow(x[1]+1,n-m);
    for (int i=m-1;~i;i--) x_1[i]=x_1[i+1]*(x[1]+1)%p;
    for (int j=0;j<=m;j++)
        for (int i=j;i<=m;i++) (b[j]+=S[i][j]*a[i]%p)%=p;
    for (int i=0;i<=min(m,n);i++) (ans+=b[i]*dexp[i]%p*x[i]%p*x_1[i]%p)%=p;
    printf("%lld",ans);
}