高等数学-常微分方程
一阶常微分方程通解
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=0
\\
\]
\[*齐次微分方程通解:\\
y=ce^{-\int{p(x)}dx}
\]
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
\]
\[*非齐次微分方程通解:\\
y=e^{-\int{p(x)dx}}(c+\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx})
\]
二阶常系数齐次线性微分方程通解
\[y''+py'+qy=0(*)，其中p,q为常数
\\
求解\Delta = r^2+pr+q=0
\\
解出\Delta 两个根 r_1,r_2
\]
| $$r_1,r_2形式$$ | $$y''+p y'+q y=0(*)通解$$ |
|---|---|
| 两个不相等实根 | $$y=c_1 e^{r_1 x}+c_2 e^{r_2 x}$$ |
| 两个相等实根 | $$y=(c_1+c_2 x)e^{r_1 x}$$ |
| 一对共轭复根\(r_1=\alpha+i\beta,r_2=\alpha-i\beta\) | \(y=e^{\alpha x}(c_1\cos{\beta}x+c_2\sin{\beta}x)\) |
二阶常系数非齐次微分方程特解
\[y''+py'+qy=f(x)(*)，其中p,q为常数
\]
\[1.
f(x)为e^{\lambda x}P(x)型.(P(x)是关于x的多项式且\lambda 常为0)
\\
求解\Delta = r^2+pr+q=0
\\
解出\Delta 两个特征根 r_1,r_2
特解：y^{*}=x^{k}*Q(x)*e^{\lambda x},Q(x)是和P(x)相同形式的多样式\\(例P(x)=x^2+2 x,则Q(x)为ax^2+bx+c,a b c都是待定系数)
\\
\]
| $$ 若\lambda 不是特征根 $$ | $$$$\(k=0,y^{*}=Q(x)*e^{\lambda x}\) |
|---|---|
| \(若\lambda 是单根\) | \(k=1,y^*=x*Q(x)*e^{\lambda x}\) |
| \(若\lambda 是二重根\) | \(k=2,y^*=x^2*Q(x)*e^{\lambda x}\) |
\[2.
f(x)为e^{\lambda x}P(x)\cos{\beta}或e^{\lambda x}P(x)\sin{\beta}型.(P(x)是关于x的多项式且\lambda 常为0)
\\
求解\Delta = r^2+pr+q=0
\\
解出\Delta 两个特征根 r_1,r_2\\
\]
| $$若\alpha+ \beta i不是特征根$$ | $$$$$ y^* = e^{\lambda x}Q(x)(A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x}) $ |
|---|---|
| \(若\alpha+ \beta i是特征根\) | \(y^*=e^{\lambda x}*x*Q(x)\) |
例
\[微分方程y''-4y'=e^{2x}的通解形式
\\
解:令r^2-4r=0
\\
解得r_1=2,r_2=-2
\\
r_1,r_2为两个不相等实根，齐次通解为 y = c_1e^{2 x}+c_2e^{-2x}
\\
f(x)=e^{2x}可知\lambda 值为2 ，是单根，则y^*=xQ(x)e^{2x}
\\
f(x)系数为0，所以Q(x) = ax^{0} = a
\\
特解y^*=axe^{2x}
\\
将特解代入解得a=\frac{1}{4}
\\
通解形式为 y=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+\frac{1}{4}xe^{2x}
\]
