高等数学-求导公式与法则

求导公式与法则

求导基础公式

$$(x^{a})^{'}= ax^{a-1} \\ (\sqrt{x})^{'}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2} \\ (a^x)'=a^x\ln{a} \\ (\log_a{x})'=\frac{1}{x\ln{a}} \\ (\sin{x})'=\cos{x} \\ (\cos{x})'=-\sin{x} \\ (\tan{x})'=\sec^2{x} \\ (\cot{x})'=-\csc^2{x} \\ (\sec{x})'=\sec{x}\tan{x} \\ (\csc{x})'=-\csc{x}\cot{x} \\ (\arcsin{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arccos{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan{x})'=\frac{1}{1+x^2} \\ (arccot{x})'=-\frac{1}{1+x^2}$$

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求导运算法则

设$u(x)、v(x)$可导，则

四则求导法则	四则求微分法则
$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$	$$d(u\pm v) = du\pm dv$$
$$(1)(uv)'=u'v+v'u\ (2)(ku)'=ku'(k为常数)\ (3)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$$	$$(1)d(uv)=udv+vdu\ (2)d(ku)=kdu(k为常数)\ (3)d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw$$
$$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$	$$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$$

复合函数求导法则-链式法则

设$y=f(u)$可导，$u=\phi(x)$可导，且$\phi^{'}(x)\neq0$，则$y=f[\phi(x)]$可导，且

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx} = f^{'}(u).\phi^{'}(x)= f^{'}[\phi(x)].\phi^{'}(x)$$

反函数求导法则

$$(1)设y=f(x)可导且f^{'}(x)\neq0，又x=\phi(y)为其反函数，则x=\phi(y)可导，且\\ \phi^{'}(y)=\frac{1}{f^{'}(x)} \\ 设y=f(x)二阶可导且f^{'}(x)\neq0，又x=\phi(y)为其反函数，则x=\phi(y)二阶可导，且\\ \phi^{''}(y)=-\frac{f^{''}(x)}{f^{'3}(x)}$$