扩展欧几里得(exgcd)与同余详解

exgcd入门以及同余基础

gcd，欧几里得的智慧结晶，信息竞赛的重要算法，数论的...（~~编不下去了~~

讲exgcd之前，我们先普及一下同余的性质：

$\left ( a+b \right )\mod p=\left (a\mod p+ b\mod p\right )\mod p$
$\left ( a-b \right )\mod p=\left (a\mod p- b\mod p\right )\mod p$
$\left ( a\times b \right )\mod p=\left (a\mod p)\times (b\mod p\right )\mod p$
若 $a\equiv b(\mod p)$ ，那么 $a^{n}\equiv b^{n}(\mod p)$
若 $a\mod p1=x$ ， $a\mod p2=x$ ，且p1，p2互质， $a\mod (p\times q)=x$

有了这三个式子，就不用怕在计算时溢出了。

下面我会用 $gcd\left ( a,b \right )$ 与 $lcm\left ( a,b \right )$ 分别表示a与b的最大公约数与最小公倍数。

首先会来学扩欧的同学肯定都会欧几里得算法（即辗转相除法）了吧

而通过观察发现： $lcm\left ( a,b \right )=\frac{a\times b}{gcd\left ( a,b \right )}=\frac{a}{gcd\left ( a,b \right )}\times b$ ，先除后乘防溢出。

所以 $gcd\left ( a,b \right )$ 与 $lcm\left ( a,b \right )$ 的代码如下：

1 inline int gcd(int a,int b)
2 {return (b==0)?a:gcd(b,a%b);}
3 inline int lcm(int a,int b)
4 {return a/gcd(a,b)*b;

讲exgcd之前先引入一种方程——不定方程

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

————百度百科

就是形如 $ax+by=c$ 的方程，其中a，b，c已知。

1.判断是否有解

如果 $c\mod gcd\left ( a,b \right )\neq 0$ ，那么方程无解。

2.转化

方程可转化为 ${a}'x+{b}'y={c}'$ ，

其中 ${a}'=\frac{a}{gcd\left (a,b \right )}$ ， ${b}'=\frac{b}{gcd\left (a,b \right )}$ ， ${c}'=\frac{c}{gcd\left (a,b \right )}$

3.求一组特解

接着就用到了exgcd。

我们知道gcd有一个性质 $gcd(a,b) = gcd(b, a\mod b)$

如果，一直循环下去，b将等于0，那么x将等于c/a，y=0。

1 inline void exgcd(int a,int b,int c)
2 {
3     if(!b)
4     {x=c/a;y=0;return;}
5     exgcd(b,a%b,c);
6     x=y;
7     y=(c-a*x)/b;
8     return;
9 }

这就求出了一组特解。

exgcd的模板我也在这摆出来

1 inline void exgcd(int a,int b)
2 {
3     if(!b)
4     {x=1;y=0;return;}
5     exgcd(b,a%b);
6     k=x;x=y;
7     y=k-a/b*y;
8     return;
9 }

这是求 $ax+by \right =gcd\left ( a,b \right )$ 时用的，后面讲同余方程会讲。

4.构造通解

我们假设x1，y1是我们求出的一组特解，那么

$\left\{\begin{matrix} & &x=c\cdot x1+c\cdot b\cdot k \\ & & y=c\cdot y1-c\cdot a\cdot k \end{matrix}\right.$ $\left ( k\epsilon z \right )$

同余类问题

1.单个同余方程

求的是 $ax\equiv b( \mod p)$ 关于x的解

转化一下，就成了 $ax+py=b$ ，就可以直接套exgcd模板。

2.同余方程组

$\left\{\begin{matrix} & &x\equiv b1\left (\mod p1 \right )\\ & & x\equiv b2\left (\mod p2 \right ) \end{matrix}\right.$

1.有解的充要条件 $\left ( b1-b2 \right )\mod gcd(p1,p2)=0$

2. $\left\{\begin{matrix} & &x-p1\times y1=b1\\ & & x-p2\times y2=b2\end{matrix}\right.$

下式减上式得 $p1\times y1-p2\times y2=b2-b1$

再用exgcd求出y1和y2， ${x}'=b1+p1\times y1=b2+p2\times y2$

3.关于通解

所有的x mod lcm(p1,p2)有唯一解，这样就可以通过特解，求通解了。

4.至于式子更多的同余方程组，就先联立两个，就可以得出新的方程 $x\equiv {x}'\left ( \mod lcm(p1,p2) \right )$

再联立下一个。

exgcd用处及题目讲解

1.求同余方程的解

例如这道题P1082

这是一道裸的扩欧模板题，变形之后就是求 $ax+by=1$ 。

套模板即可。

 1 inline void exgcd(int a,int b)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {x=1;y=0;return;}
 5     exgcd(b,a%b);
 6     k=x;x=y;
 7     y=k-a/b*y;
 8     return;
 9 }
10 int main()
11 {
12     int n,m;
13     read(n),read(m);
14     exgcd(n,m);
15     printf("%d",(x+m)%m);
16 }

还有一道模板P1516

仔细观察，推一下后我们发现，这在就是在求 $x+k\times m\equiv y+k\times n(\mod l)$ 的解。

进而可以推出 $x+k\times m-y-k\times n=l\times p$

合并同类项后 $(x-y)+k\times(m-n)-l\times p=0$

把一些东西移到左边来后 $(x-y)=k\times(n-m)+l\times p$

把(x-y)，(n-m)各看成一个整体后，问题就成了解一个不定方程。

 1 inline int exgcd(long long a,long long b)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {x=1;y=0;return a;}
 5     ans=exgcd(b,a%b);
 6     k=x;x=y;
 7     y=k-a/b*y;
 8     return ans;
 9 }
10 int main()
11 {
12     long long x1,y1,m,n,l;
13     read(x1),read(y1),read(m),read(n),read(l);
14     if(n-m<0)swap(x1,y1);
15     exgcd(std::abs(n-m),l);
16     if((x1-y1)%ans!=0)
17     printf("Impossible");
18     else
19     printf("%lld",((x*((x1-y1)/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));
20 }

还有一道也是模板P4777，涉及同余方程组求解，上面已详细的讲了，近期我也会发一篇中国剩余定理的博客

 1 inline long long mul(long long a,long long b,long long mod)
 2 {
 3     long long res=0;
 4     while(b>0)
 5     {
 6         if(b&1) res=(res+a)%mod;
 7         a=(a+a)%mod;
 8         b>>=1;
 9     }
10     return res;
11 }
12 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
13 {
14     if(!b)
15     {x=1;y=0;return a;}
16     long long gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
17     k1=x;x=y;
18     y=k1-a/b*y;
19     return gcd;
20 }
21 int main()
22 {
23     io::begin();
24     io::read(n);
25     for(register int i=1;i<=n;i++)
26     io::read(b1[i]),io::read(a1[i]);
27     long long x,y,k;
28     long long m=b1[1],ans=a1[1];
29     for(int i=2;i<=n;i++)
30     {
31         long long a=m,b=b1[i],c=(a1[i]-ans%b+b)%b;
32         long long gcd=exgcd(a,b,x,y);
33         long long p=b/gcd;
34         x=mul(x,c/gcd,p);
35         ans+=x*m;
36         m*=p;
37         ans=(ans%m+m)%m;
38     }
39     printf("%lld",(ans%m+m)%m);
40 }

2.扩欧求逆元

这是一种很重要的算法，至于逆元怎么跟扩欧扯上关系，大家可以点这里乘法逆元及两道模板题详解

这里就不多赘述了，大家可以用扩欧a一下P3811，P2613。

我要讲的讲完了，如果觉得讲的还好，请关注我的blog，谢谢

posted @ 2018-08-23 21:04 __mashiro 阅读(1153) 评论(0) 编辑收藏举报

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