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2017/03/30
1、三角函数n次方的定积分值
令$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2} \cos^n(x) \,\mathrm{d}x$，则：
\begin{equation*}
I_n =
\begin{cases}
\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2}, & n = 2k \\
\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}, & n = 2k+1
\end{cases}
\end{equation*}
2、球的体积与表面积
将$\mathbb{R}^n$中半径为1、中心在原点的球$\partial B(0,1)$记为$S^{n-1}$，并将他的“体积”记为$\alpha_n$，即$\mathbb{R}^n$中的单位球的体积为$\alpha_n$。那么显然，在$\mathbb{R}^n$中半径为$r$的球的表面积就应该是$n \alpha_n r^{n-1}$。由微元法可以知道，半径为$R$的球的体积就应该是$\int_o^R n \alpha_n r^{n-1} \,\mathrm{d}r = \alpha_n R^n$。综上所述，可得：
$\mathbb{R}^n$中半径为$r$的球的表面积为$n \alpha_n r^{n-1}$，体积为$\alpha_n r^n$，其中$\alpha_n$表示$\mathbb{R}^n$中半径为1的球的体积大小，$\alpha_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}$.
对于$n!!$，我们有$$n!! = 2^{n/2} \Gamma(n/2+1)\cdot \left( \frac{2}{\pi} \right)^{(n\%2)/2}, ~(n \in \mathbb{N}^+, ~n \geq 2)$$，其中当$n$为偶数时$n\%2=0$，当$n$为奇数时$n\%2=1$。以后遇到有阶乘和Gamma函数混合的时候，可以用这个式子将所有阶乘全部换成Gamma函数，然后再来进行进一步简化和计算。
3、等纬度的球表面积分
$\mathbb{R}^n$中半径为1、中心在原点的球的表面积可以这样计算：即先按照相同的“纬度”求出同纬度的“线圈”的长度，然后再按照“经度”积分。具体如下：$$\alpha_n = \int_0^{\pi} \,\mathrm{d}\theta \int_{S^{n-2}(0,\sin\theta)} 1\,\mathrm{d}S = \int_0^{\pi} (n-1)\cdot\alpha_{n-1} \cdot (\sin\theta)^{n-2} \,\mathrm{d}\theta.$$
基于此，我们可以计算在同纬度函数值相同的球面积分。令函数$f$满足$f(x) = g(x_1), x = (x_1,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n$，即如果将$x_1$看作轴心的话，则函数$f$在同一个纬度($x_1$相同)的函数值相同。此时，$\int_{S^{n-1}} f(x)\,\mathrm{d}S(x)$的值可以用等纬度的球表面积分来计算：
\begin{align*}
\int_{S^{n-1}} f(x)\,\mathrm{d}S(x) & = \int_0^{\pi} r \,\mathrm{d}\theta \int_{S^{n-2}(0,r\sin\theta)} f(x_1,0,\cdots,0)\,\mathrm{d}S \quad(r = 1)\\
& = \int_0^{\pi} \,\mathrm{d}\theta \int_{S^{n-2}(0,\sin\theta)} f(\cos\theta,0,\cdots,0)\,\mathrm{d}S \\
& = (n-1)\cdot\alpha_{n-1} \cdot \int_0^{\pi} f(\cos\theta,0,\cdots,0) \cdot (\sin\theta)^{n-2} \,\mathrm{d}\theta.
\end{align*}
4、近边估计时需要用到的变换与求导
设$\Psi \colon x \in U \mapsto y = \Psi(x) \in V$是$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^n$的光滑可逆映射，$\Psi(x)$有$n$个分量：$\Psi(x) = (\Psi_1(x), \cdots, \Psi_n(x))$。记$\hat u(y) = \hat u(\Psi(x)) := u(x)$，并记$P_{ij} = P_{ij}(x) = \frac {\partial (\Psi_i(x))} {\partial x_j}$，$P_{ij}^{k} = P_{ij}^{k}(x) = \frac {\partial (\Psi_k(x))} {\partial x_i \partial x_j}$，同时简记$\partial_i = \frac {\partial} {\partial x_i}$，$\hat \partial_i = \frac {\partial} {\partial y_i}$，则我们有$$\partial_i P_{jk} = P_{ki}^{j}, \quad\text{and}\quad \partial_i u(x) = P_{ki} \hat \partial_k (u(x)) = P_{ki} (\hat \partial_k \hat u)(y).$$
下面给出一个应用例子
\begin{align*}
\partial_{ij} u(x) & = \partial_j (\partial_i u(x)) = \partial_j (P_{ki} \hat \partial_k \hat u) = (\partial_j P_{ki}) (\hat \partial_k \hat u) + P_{ki} \partial_j (\hat \partial_k \hat u) \\
& = P_{ij}^k (\hat \partial_k \hat u) + P_{ki} P_{\ell j} \hat \partial_{\ell} (\hat \partial_k \hat u) \\
& = P_{ki} P_{\ell j} \, \hat \partial_{k \ell} \hat u + P_{ij}^k \, \hat \partial_k \hat u.
\end{align*}
如果我们使用矩阵乘法：$\sum_i P_{ki}A_{ij} = (PA)_{kj}$，将$P_{ij}$和$P_{ij}^k$对$i,j$形成的矩阵分别记为$P$和$P^k$，并用大写字母$A$表示矩阵$(a_{ij})$的话，那我们就可以得到(用Einstein求和记号)：
\begin{align*}
a_{ij}\partial_{ij} u(x) & = a_{ij} (P_{ki} P_{\ell j} \, \hat \partial_{k \ell} \hat u + P_{ij}^k \, \hat \partial_k \hat u )\\
& = (P_{ki} a_{ij} P_{j \ell}^T \, ) \hat \partial_{k \ell} \hat u + (a_{ij} P_{ij}^k ) \, \hat \partial_k \hat u \\
& = ((PA)_{kj} P_{j \ell}^T \, ) \hat \partial_{k \ell} \hat u + \text{tr}(P^k A^T) \, \hat \partial_k \hat u \\
& = (PAP^T)_{k \ell} \hat \partial_{k \ell} \hat u + \text{tr}(P^k A^T) \, \hat \partial_k \hat u \\
& = (PAP^T)_{ij} \hat \partial_{ij} \hat u + \text{tr}(P^i A^T) \, \hat \partial_i \hat u.
\end{align*}
5、ln|x|的积分
首先，$\ln|x|$在$x=0$处是可积分的。通过计算可以得到$$\int_0^a \ln|x| \textrm{d}x = a(\ln|a|-1), ~a \in \mathbb{R}.$$于是$\int \ln|x| \textrm{d}x = x(\ln|x|-1) + C$，并且$\int_a^b \ln|x| \textrm{d}x = b(\ln|b|-1) - a(\ln|a|-1)$。
