博弈（入门）个人心得

博弈（入门）个人心得

关键词：必败态，异或

我们先看下这张图

┏→ 一定 →┓

必败态          胜态

┗← 可能 ←┛

以下象棋为例，说明上面图示所表示的含义。假如你和一个人在对弈并处于这样一种局面：你已经将了对方的军，轮到对手走棋，对手无论如何都无法补救。这种局面对与该走棋的对手来说就是必败的，就是必败态, 对应上面的图来看，就是对于对手来说的“必败态”,无论他怎样走都“必定”会到发展为对我方有利的局面。

对于对手来说是必败的，那对于自己是不是必胜的呢？答案是否定的，你虽然将军，但并不是怎么走都会赢，也就是说，当你面临这种局面时，须按照一定的方法才会赢，否则对手有可能反败为胜。对应上面的图，对于我方的所谓的“胜态”局面，必须按照一定的策略才会让对手陷于必败的局面，如此循环。

对于博弈类的入门题目，个人觉得就是找到必败态。我们以集合的观点把所有的局面分为两类，一类是必败态集合，另一类是胜态集合。所谓必败态，就是一种局面，一种状态，当对手面临这种局面时，任何符合规则的走法都必然会导致局面变成胜态集合中的元素。我们按照一定的策略把局面再变为必败态集合的元素，对手又被迫使局面变为胜态集合的元素，这样反复循环直到最后一次我们把局面变为结束局面（结束局面也是必败态集合的元素）。这样我们就可以保证，只要对手一开始面临的是必败态集合中的元素，对手必定会输。当然，我们面临必败态的话，也是会输的，因为博弈要求每个选手都按最好的策略走，且对于每个局面,合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作。

把图用文字描述就是以下两条：
1．若面临必败态，则任何走法都会导致局面变为胜态
2．若面临胜态，按照一定策略可使局面变为必败态

我们看下例题：------(m堆)石子游戏http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2176
这一题要用异或运算，这一点在焦祺师兄的《关于博弈(入门)_焦祺》已经说明，但为什么会想到用异或运算呢？当然是异或运算与必败态的互相转换有着相似之处：
1.若XOR(m1,m2,……,mn)==0，则改动任何一个数都会导致XOR(m1,m2,……,mn)!=0
2.若XOR(m1,m2,……,mn)!=0，则一定存在改动一个数使XOR(m1,m2,……,mn)==0的策略

┏→ 一定 →┓

XOR==0        XOR!=0

┗← 可能 ←┛

我们可以看到，异或运算与必败态之间有着巧妙的联系。当然，上面两条的正确性是可以证明的，绝不是无中生有。

第一条比较好理解，n个数异或=0，把n个数变作2进制来看，改变任何一个二进制数上的任何一个位置，都会使这个位置所在列的1的个数的奇偶发生改变，从而导致异或!=0

第二条，设a^b^c^d=e（e不等于0），两边同时异或e，则有a^b^c^(d^e)=e^e=0，若d^e小于d，则可以通过把d个石子的一堆取走剩下d^e个使异或=0，否则e与其他数结合。不过好像没有证明a,b,c,d中一定有一个数与e异或小于他自身，这个暂时没想到，希望大家也想想看，讨论一下