SVM，称为支持向量机，曾经一度是应用最广泛的模型，它有很好的数学基础和理论基础，但是它的数学基础却比以前讲过的那些学习模型复杂很多，我一直认为它是最难推导，比神经网络的BP算法还要难懂，要想完全懂这个算法，要有很深的数学基础和优化理论，本文也只是大概讨论一下。本文中所有的代码都在我的github。
硬间隔SVM推导
如果现在我们需要对一堆数据进行二分类处理，并且这些数据都是线性可分的(一条直线就能将数据区分开)，那么你会如何对之进行划分？如图1。
图1. 线性可分图
我们只需要在俩类数据的中间找出一条直线即可，如果数据是三维的，那么我们需要找出中间的切分面，能将俩类数据划分开的直线有很多，在图1中就有三条，那么你如何判断哪一条才是最适合的呢？直观来看，肯定是中间的蓝色线，因为黄线太靠近蓝点，绿线太靠近红色，这样的线对样本扰动的容忍性低，在测试集中很容易就会出错，而蓝色线是受影响最小的，因为它距离俩类样本最远，这样才具有泛化能力，那么我们需要找出的线就是距离俩类样本最远，其实就是最中间的线，从图1中可以看出平面上有很多点，问题在于哪些点才能衡量出线到俩类数据的距离呢？那肯定是距离线最近的那些点，我们把最近样本点到划分边界的距离称为间隔。我们的目标就是达到最大间隔的那个划分边界。下面先来求间隔。
间隔
用\(W^TX + b = 0\)来表示划分边界，我们先计算点到这个划分边界的距离，因为数据可能是高维的，所以不能用点到直线的距离，应该计算点到面的距离。图2就是计算其中有一个\(P\)到面的距离。
图2. 点到平面图
\(Q\)是平面上任意一点，其中\(W^T\)是平面的法向量，这个我们推导出来，假设平面上任意俩点\(x_1,x_2\)，
\[W^T(x_1 - x_2) = W^Tx_1 - W^Tx_2 = (-b) - (-b) = 0
\]
因此\(W^T\)与平面垂直。设\(P\)到平面上距离为\(d\)，从图中我们可以很容易的看出，
\[\begin{align}
d & = |PQ|cos\theta \notag \\
& = |P - Q|cos<W^T, P-Q> \notag \\
& = |P - Q| \frac{|W^T(P-Q)|}{|W||P - Q|} \notag \\
& = \frac{1}{|W|}|W^TP - W^TQ| \notag \\
\end{align}
\]
因为\(Q\)是平面上任意一点，所以\(W^TQ + b = 0\)，点\(P\)到平面上的距离公式变成
\[d = \frac{1}{|W|}|W^TP + b|
\]
假设数据集\(D = \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\}\)，点到划分边界的距离就是\(d = \frac{1}{|W|}|W^Tx_i + b|\)，之前我们说最近样本点到划分边界的距离称为间隔，那么间隔用公式表示就是
\[margin = \min\limits_{i=1,2,\dots,n}(\frac{1}{|W|}|W^Tx_i + b|)
\]
这个公式也被称为几何间隔，是我们的目标。
因为\(\frac{1}{|W|}\)和\(min\)没有关系，可以直接提到前面去，
\[margin = \frac{1}{|W|}\min\limits_{i=1,2,\dots,n}(|W^Tx_i + b|)
\]
现在单独来看这个公式，我们可以将绝对值符号替换掉不？绝对值里面的数一定是正数，如果所有的数据都会正确分类，没有那种错误的数据，那么\(W^Tx_i + b\)在负类中的结果是负数，\(W^Tx_i + b\)在正类中的结果是正数，我们一般将负类表示为-1，正类表示为1，那么就有办法了，直接将之乘以各自的类别，
\[|W^Tx_i + b| = y_i(W^Tx_i + b)
\]
我们再来看看这个式子的含义，数据如果带入\(y_i(W^Tx_i + b)\)，计算出来的肯定不是0，因为结果0代表这个点就在这个划分边界上，肯定是一个数，并且带入的点离划分边界越远，计算出来的结果就越大，我们就有更大的把握将之分类正确，那么\(y_i(W^Tx_i + b)\)其实就是数据分类的置信度，我们也将之称为函数间隔，这里的置信度不是概率而是一个确切的值，没有统一的量纲，会出现问题，我们如果将划分边界的\(W\)和\(b\)等比例放缩，比如将\(x + y + z + 1 = 0\)变成\(2x + 2y + 2z + 2 = 0\)，这样放缩过后的平面与原来的平面其实还是同一个平面，平面没变，点的位置也没变，那么几何间隔不变，但是函数间隔就发生了变化，扩大2倍，那么我们就需要将划分边界的\(W\)和\(b\)的比例定下来，这个比例就是随便定哪种，因为它不影响几何间隔的大小，既然比例可以随便定了，那么我就定成最小点到平面距离为1的比例，也就是\(y_i(W^Tx_i + b) = 1\)，那么间隔大小就是
\[margin = \frac{1}{|W|}
\]
我们的目标就是达到最大间隔的那个划分边界，别忘了还有条件，数据能够被完全正确划分，用公式表示就是，
\[\max\limits_{W,b}(margin) = \max\limits_{W,b}\frac{1}{|W|} \\
s.t. y_i(W^Tx_i + b) \geq 1
\]
对于函数间隔设置为1，除了之前的代数角度，还可以从另一个角度来看，平面的变化就是\(W\)和\(b\)的变化，我们需要找出最好的划分边界，那么就需要不断地变化\(W\)和\(b\)来表示不同的划分边界，\(W\)和\(b\)有俩种，一种是等比例，另一种是不等比例，等比例变化之后还是原来的平面，这明显不是我们想要的，我们想要的是不同的平面，那么就需要不等比例，那么我们就将函数间隔缩放成1，每次调整参数的时候，都会按比例把函数间隔缩放成1，这样变化\(W\)和\(b\)就不会出现第一种情况了。
现在这个问题就变成了求最大值的问题，在机器学习中就是优化问题，在优化最值问题中，一般都求最小值，因为如果你求最大值的话，你没有上界，你无法判断出结果如何，但是在求最小值中，我们可以将0当成下界，所以可以将之转化为最小值问题，就变成了\(\min\limits_{W,b}|W|\)。这里就需要比较向量的大小，专业化就是度量向量大小，在数学中可以使用范式，最常用的欧氏距离就是2范式，我们也将之变成2范式，并且为了简化之后的计算，在前面加上\(\frac{1}{2}\)，就变成了
\[\min\limits_{W,b}\frac{1}{2}|W|^2 \\
s.t. y_i(W^Tx_i + b) \geq 1，i=1,2,\dots,n
\]
我们可以利用QP解法来直接求这个最小值，但是一旦要引入核函数，那么这种解法就很复杂了，没有效率，因此需要利用优化来求解。
对偶
上面的求最值问题在机器学习中被称为优化问题，从导数的时候，我们就学过求函数的最值，是利用导数为0，不过那时候是没有约束条件的，后来上大学，高数中出现求等式约束条件下多元函数的极值，这个时候我们来看怎么求，有了约束条件，那么取值就有范围，只能在这个等式中的值，我们可以通过图来直观的感受，这里我们使用的是等高线图来表示值的大小，并且用公式表示约束就是
\[minf(x) \\
s.t. h(x) = 0
\]
图3. 等式约束条件下的等高线图
图3中蓝色线就是值的等高线，是函数$f(x)$的值，黄线就是等式约束条件，等式约束条件就是$h(x)$，在约束条件下，值是先变小，小到一定程度之后开始慢慢变大，当黄线到达极小值的时候，必然会有等高线与之相切，在极值点处$x^{\ast}$，黄线的梯度与等高线垂直，而等高线自身的梯度也是与等高线垂直，那么黄线的梯度与等高线的梯度共线，自然就有了
$$
\bigtriangledown f(x^{\ast}) = \lambda \bigtriangledown h(x^{\ast})
$$
并且这个极值点处$x^{\ast}$在等式约束条件$h(x)$中也是存在的，因此也要满足
$$
h(x^{\ast}) = 0
$$
上面俩个等式就是求极值点所需要的俩个条件，有了它们就能求，为了能将它们都包含在无约束的优化问题中，就设计出了这样一个函数。
$$
L(x,\lambda) = f(x) + \lambda h(x) \\
s.t. \lambda \geq 0
$$
这个就是拉格朗日函数，一般拉格朗日函数都是需要对$x$和$\lambda$求偏导的，我们求出偏导就发现这俩个偏导和上面的俩个条件是一样的。
$$
\frac{\partial L}{\partial x} = \bigtriangledown f(x) + \lambda \bigtriangledown h(x) = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = h(x) = 0
$$
但是在实际优化问题中很多都是不等式约束，如果只有一个不等式的话，那么还是使用拉格朗日即可。但是很多时候都有很多不等式，就比如我们上面的那个优化问题，它有\(n\)个不等式，这里我们先看有俩个不等式约束条件的情况，
\[min f(x) \\
s.t. h_1(x) \leqslant 0，h_2(x) \leqslant 0
\]
我们可以画出图形，就是
图4. 不等式约束条件下的等高线图
其中的黄线就是不等式约束$h_2(x)$，绿线就是$h_1(x)$，从图中可以看到函数$f(x)$在极值点处的梯度始终在俩条不等式约束梯度的中间，这在向量空间就是表示$\bigtriangledown f(x^{\ast})$可以由$-\bigtriangledown h_1(x^{\ast})$和$-\bigtriangledown h_2(x^{\ast})$线性表示出来，并且线性表示的系数必定是非负的，公式可以表示
$$
\bigtriangledown f(x^{\ast}) = -\mu_1\bigtriangledown h_1(x^{\ast})-\mu_2\bigtriangledown h_2(x^{\ast}) \\
\mu_1 \geq 0, \mu_2 \geq 0
$$
这个俩个分别是梯度为0条件和可行条件，当然，在约束条件中，还有一种情况，就是线性表示与其中一些不等式梯度无关，比如再加上一个不等式约束为$h_3(x)$，在图中表示就是
图5. 特殊情况下不等式约束条件下的等高线图
从图中可以看出灰线所表示的约束与线性表示无关，因为它的最小值不在\(x^{\ast}\)，但是我们的条件还是要写成
\[\bigtriangledown f(x^{\ast}) = -\mu_1\bigtriangledown h_1(x^{\ast})-\mu_2\bigtriangledown h_2(x^{\ast})-\mu_3\bigtriangledown h_3(x^{\ast}) \\
\mu_1 \geq 0, \mu_2 \geq 0, \mu_3 \geq 0
\]
那么其中的\(\mu_3\bigtriangledown h_3(x^{\ast})\)该如何消去呢，那么再增加一个互补松弛条件就是
\[\mu_1h_1(x^{\ast})+\mu_2h_2(x^{\ast})+\mu_3 h_3(x^{\ast}) = 0
\]
因为在极值点处，\(h_1(x^{\ast})\)和\(h_2(x^{\ast})\)都是为0的，但是\(h_3(x^{\ast})\)不是0，用图中线段的话，\(h_3(x^{\ast}) < 0\)，那么\(\mu_3 = 0\)，这样就能弥补上面条件的缺陷了。这三个条件也被称为KKT条件，KKT条件就是存在局部极小值点的必要条件，整理起来就是
\[\mu_1 \geq 0, \mu_2 \geq 0, \mu_3 \geq 0 \\
\bigtriangledown f(x^{\ast}) + \mu_1\bigtriangledown h_1(x^{\ast})+\mu_2\bigtriangledown h_2(x^{\ast})+\mu_3\bigtriangledown h_3(x^{\ast}) =0 \\
\mu_1h_1(x^{\ast})+\mu_2h_2(x^{\ast})+\mu_3 h_3(x^{\ast}) = 0
\]
KKT条件是强对偶关系的充要条件，很多优化原问题很难求解，就需要找出原问题的对偶问题来求解。顺便说一下，slater条件是强对偶关系的充分非必要条件。而凸二次规划问题是一定满足slater条件，我们的SVM就是一个凸二次规划问题，因为它的目标函数\(f(x)\)是凸函数，并且约束都是放射函数，所以它一定是满足强对偶关系的，但是下面推导我们依旧慢慢推导。
上面无论什么约束，目标函数\(f(x)\)和约束函数\(h(x)\)都是变成一个式子的，因此我们先将之转变为拉格朗日函数，变成无约束问题。将约束条件转变为一般形式
\[1-y_i(W^Tx_i + b) \leq 0
\]
之后变成拉格朗日函数
\[L(x,\lambda) = \frac{1}{2}|W|^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i(1-y_i(W^Tx_i + b)) \\
s.t. \lambda_i \geq 0
\]
那么我们能不能用拉格朗日函数来表示原问题呢？当然也是可以的，原问题是优化问题，可以转变为极大极小问题，
\[\min\limits_{W,b}\frac{1}{2}|W|^2 = \min\limits_{W,b}\max\limits_{\lambda}L(x,\lambda)
\]
我们可以分情况来讨论，当\(1-y_i(W^Tx_i + b) > 0\)的时候，\(L(x,\lambda)\)没有最大值，或者说最大值是\(+\infty\)，当\(1-y_i(W^Tx_i + b) \leq 0\)的时候，\(L(x,\lambda)\)有最大值，最大值就是\(\frac{1}{2}|W|^2\)，那么上面的极小极大可以变成
\[\min\limits_{W,b}\max\limits_{\lambda}L(x,\lambda) = \min\limits_{W,b}(+\infty, \frac{1}{2}|W|^2) = \min\limits_{W,b}\frac{1}{2}|W|^2
\]
其中\(\lambda_i\)用于表达约束，上式中\(\max\limits_{\lambda}L(x,\lambda)\)无法求，更无法使用偏导来求，因为式子\(L(x,\lambda)\)中的\(W\)和\(b\)没有固定住。那么这样不行的话，就使用对偶问题来求，一般式都是满足弱对偶关系的，也就是
\[\min\limits_{W,b}\max\limits_{\lambda}L(x,\lambda) \leq \max\limits_{\lambda}\min\limits_{W,b}L(x,\lambda)
\]
弱对偶关系很简单，但是我们想要的是强对偶关系，那么就需要用到上面所说的KKT条件，那么我们求解KKT条件，先来看自带的约束条件和KKT乘子条件就是
\[1-y_i(W^Tx_i + b) \leq 0 \\
\lambda_i \geq 0
\]
第二个条件就是梯度为0条件，那么需要对\(W\)和\(b\)进行求导
\[\frac{\partial L}{\partial W} = W - \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ix_i = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial b} = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i = 0
\]
第三个条件就是互补松弛条件，对于任意的i，都有
\[\lambda_i(1-y_i(W^Tx_i + b)) = 0
\]
满足了这三条要求，我们就可以转化为对偶问题了，得到了
\[\max\limits_{\lambda}\min\limits_{W,b}L(x,\lambda)
\]
那么先对其中的\(W\)和\(b\)求偏导，其中也就是KKT中的第二个条件，
\[\frac{\partial L}{\partial W} = W - \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ix_i = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial b} = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i = 0
\]
那么可以得到
\[W = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ix_i \\
\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i = 0
\]
将之带入到原方程中去，
\[\begin{align}
L(x,\lambda) & = \frac{1}{2}W^TW + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i(1-y_i(W^Tx_i + b)) \notag \\
& = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i-\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_iW^Tx_i -\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i b \notag \\
& = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i-\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i(\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_jy_jx_j^T)x_i -\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i b \notag \\
& = -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \notag \\
\end{align}
\]
那么我们可以求得
\[\min\limits_{W,b}L(x,\lambda) = -\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \notag
\]
最终的式子就是
\[\max\limits_{\lambda}\min\limits_{W,b}L(x,\lambda) = \max\limits_{\lambda}-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \notag \\
s.t. \lambda_i \geq 0，\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i = 0 \\
\]
划分边界中的\(W^{\ast} = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ix_i\)，而我们假设最近样本点就是\((x_k,y_k)\)，还可以求出\(b^{\ast} = y_k - \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^Tx_k\)。
超平面就是\(f(x) = sign(W^{T\ast}x+b^{\ast})\)，还缺少的KKT条件就是
\[\lambda_i \geq 0 \\
1-y_i(W^Tx_i + b) \leq 0 \\
\lambda_i(1-y_i(W^Tx_i + b)) = 0
\]
此时会过来看SVM，叫做支持向量机，其中的支持向量，其实就是最近样本点，为什么这样说呢？我们看第四个条件，也就是\(\lambda_i(1-y_i(W^Tx_i + b)) = 0\)，只有当\(y_i(W^Tx_i + b) = 1\)的时候，\(\lambda_i\)才不会为0，如果\(y_i(W^Tx_i + b) > 1\)，那么\(\lambda_i\)为0，\(\lambda_i\)为0的话就对超平面起不到任何的作用，你可以看\(W\)和\(b\)的解。所以SVM关注的只有那些最近样本点，如下图6中过虚线的那三个点就是支持向量，这也是和逻辑回归最大的不同，逻辑回归关注的是所有的样本点。那么问题来了，支持向量多还是少的时候，比较好呢？支持向量越多，训练得到的模型越复杂，就会有过拟合的风险，但是这也不是绝对的。
图6. SVM支持向量
SMO
对于上面的那个最终式子的求解，这种极值问题，之前逻辑回归中使用的梯度下降法，但是这种要求的是多个值，使用的就是坐标下降，每次沿着坐标的方向更新一次，就是每个值依次更新，比如在我们这个问题中，我们要更新\(\lambda_1\)的话，我们就需要固定其他的\(\lambda_i\)的值，然后求导进行更新，但是不能忘了我们的问题是有约束条件的，其中\(\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i = 0\)就说明如果固定其他的话，\(\lambda_1\)就完全等于一个固定的值了，\(\lambda_1 = -\sum\limits_{i=2}^{n}\lambda_iy_i\)，不可能再更新啥的。每次更新一个值行不通的话，我们就每次固定住其他值，然后更新俩个值\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)，这样的话，就不会出现上面的情况了，这就是序列最小优化算法SMO的基本思想，其中最小就是最小有俩个。
那么如何更新这俩个值呢？先来看如何更新最开始的\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)，我们拿出最终式，将这个求最大值的式子先转化为最小值。
\[\max\limits_{\lambda}-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i = \min\limits_{\lambda}\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j - \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i
\]
我们设置方程\(K(\lambda_1，\lambda_2) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j - \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i\)，然后将这个分解开，其实就是将关于\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)的式子提取出来，因为只有他们俩是未知的，其他都被固定了，可以看成实数。
\[\begin{align}
K(\lambda_1，\lambda_2) & = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j - \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \notag \\
& = \frac{1}{2}\lambda_1y_1x_1^T\lambda_1y_1x_1+ \lambda_1y_1x_1^T\lambda_2y_2x_2 + \frac{1}{2}\lambda_2y_2x_2^T\lambda_2y_2x_2 - (\lambda_1 + \lambda_2)+\lambda_1y_1\sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ix_ix_1 + \lambda_2y_2\sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ix_ix_2 + C \notag \\
\end{align}
\]
式子中的C就是代表了\(\sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_i\)，其中\(y_i\)就是标签，只有1和-1这俩种值，所以\(y_i^2 = 1\)，我们将俩个\(x_i\)和\(x_j\)相乘标记为\(k_{ij}\)，并且\(v_1 = \sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ix_1x_i, v_2 = \sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ix_2x_i\)，那么上面的式子就可以化简成
\[\begin{align}
K(\lambda_1，\lambda_2) & = \frac{1}{2}\lambda_1y_1x_1^T\lambda_1y_1x_1+ \lambda_1y_1x_1^T\lambda_2y_2x_2 + \frac{1}{2}\lambda_2y_2x_2^T\lambda_2y_2x_2 - (\lambda_1 + \lambda_2)+\lambda_1y_1\sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ix_ix_1 + \lambda_2y_2\sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ix_ix_2 + C \notag \\
& = \frac{1}{2}\lambda_1^2k_{11}+ \lambda_1\lambda_2y_1y_2k_{12} + \frac{1}{2}\lambda_2^2k_{22} - (\lambda_1 + \lambda_2)+\lambda_1y_1v_1 + \lambda_2y_2v_2 + C \notag \\
\end{align}
\]
因为\(\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_i = 0\)，除了\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)，其他的都是固定的，那么\(\lambda_1y_1 + \lambda_2y_2 = \delta\)，所以可以表示\(\lambda_1 = y_1(\delta- \lambda_2y_2)\)，因此可以带入式中，式子现在只有一个变量\(\lambda_2\),
\[K(\lambda_2) = \frac{1}{2}(\delta- \lambda_2y_2)^2k_{11}+ (\delta- \lambda_2y_2)\lambda_2y_2k_{12} + \frac{1}{2}\lambda_2^2k_{22} - ( y_1(\delta- \lambda_2y_2) + \lambda_2)+(\delta- \lambda_2y_2)v_1 + \lambda_2y_2v_2 + C
\]
可以对\(\lambda\)进行求导，这个求导化简可以在纸上写一下，式子很多很长，我怕打错了，直接写出化简的最终式子。
\[\frac{\partial K}{\partial \lambda_2} = 0 得到\\
(k_{11} + k_{22} - 2k_{12})\lambda_2 = y_2(y_2 - y_1 + \delta k_{11} - \delta k_{12} + v_1 - v_2)
\]
并且其中的\(\delta = \lambda_1^{old}y_1 + \lambda_2^{old}y_2\)，带入其中进行化简，为了区分开，将式子左边的\(\lambda_2\)变成\(\lambda_2^{new}\)，设置其中的\(g(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ik(x_i,x)+b\)，这个\(g(x)\)就代表了预测结果，从上面的\(W\)的求解式可以看出\(g(x) = W^Tx+b\)，我们可以使用\(g(x)\)来替换式子中的\(v_i\)，那么\(v_1 = g(x_1) - y_1\lambda_1k_{11} - y_2\lambda_2k_{12}-b\)，最终式子化简变成了
\[\lambda_2^{new} = \lambda_2^{old} + \frac{y_2((g(x_1) - y_1) - (g(x_2) - y_2))}{k_{11} + k_{22} - 2k_{12}}
\]
在这个式中，我们需要考虑俩个范围，第一个就是\(\lambda_i\)的可行域，第二个就是\(k_{11} + k_{22} - 2k_{12}\)的大小。
之前我们提过\(\lambda_1y_1 + \lambda_2y_2 = \delta\)，并且\(\lambda_1\)是一个实数，本身就是有范围的，我们设置为\(0 \leq \lambda_i \leq C\)，并且\(\lambda_i\)也是需要满足\(\lambda_1y_1 + \lambda_2y_2 = \delta\)，当\(y_1 = y_2\)，那么\(\lambda_1 + \lambda_2 = \delta\)，这边是1还是-1都是没有影响，当\(y_1 \ne y_2\)，那么\(\lambda_1 - \lambda_2 = \delta\)，我们画出这俩个式子的图像，如下图7所示。
图7. 可行域范围
在左图中，也就是当\(y_1 \ne y_2\)，\(\lambda_1 - \lambda_2 = \delta\)的时候，可以看到有俩种情况，第一种情况就是\(\delta < 0\)，这时\(\delta_2 \in [-\delta,C]\)，第二种情况就是\(\delta > 0\)，这时\(\delta_2 \in [0,C-\delta]\)，那么最小值\(low = max(0,-\delta)\)，最大值\(high = min(C,C-\delta)\)。在右图中，当\(y_1 = y_2\)，\(\lambda_1 + \lambda_2 = \delta\)的时候，也是俩种情况，第一种情况就是\(\delta > C\)，这时\(\delta_2 \in [\delta - C,C]\)，第二种情况就是\(0 < \delta < C\)，这时\(\delta_2 \in [0,\delta]\)，最小值\(low = max(0,\delta)\)，最大值\(high = min(C,\delta-C)\)。所以\(low\)和\(high\)是分俩种情况的，这里我们统一用\(low\)和\(high\)表示，在代码中比较\(y_1\)和\(y-2\)即可，这就是它的定义域，因此
\[\lambda_2^{new} =
\begin{cases}
hight & \lambda_2^{new} > high，\\
\lambda_2^{new} & low \leq \lambda_2^{new} \leq high，\\
low & \lambda_2^{new} < low，\\
\end{cases}
\]
之后我们还需要考虑\(k_{11}+k_{22}-2k_{12}\)的取值范围，当它\(k_{11}+k_{22}-2k_{12} > 0\)，那么最小值就在可行域中取到，但是如果\(k_{11}+k_{22}-2k_{12} \leq 0\)，那么最小值就在边界\(low\)和\(high\)处取到了。
此时\(\lambda_2\)就被计算出来了，下面就是计算\(\lambda_1\)，还是通过约束条件\(\lambda_1^{old}y_1 + \lambda_2^{old}y_2 = \lambda_1^{new}y_1 + \lambda_2^{new}y_2\)进行计算，下面就是推导过程。
\[\begin{align}
\lambda_1^{new}y_1 + \lambda_2^{new}y_2 & = \lambda_1^{old}y_1 + \lambda_2^{old}y_2 \notag \\
\lambda_1^{new}y_1 & = \lambda_1^{old}y_1 + \lambda_2^{old}y_2 - \lambda_2^{new}y_2 \notag \\
\lambda_1^{new} & = \lambda_1^{old} + (\lambda_2^{old} - \lambda_2^{new})y_1y_2 \notag \\
\end{align}
\]
在式子\(g(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ik(x_i,x)+b\)中也出现了b，那么我们还可以更新b，因为SMO的本质就是不断地移动划分边界来看谁最好，所以也是需要更新b的。
\[\begin{align}
b_1^{new} & = y_1 - W^Tx_1 \notag \\
& = y_1 - \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ik_{i1} \notag \\
& = y_1 - \lambda_1^{new}y_1k_{11} - \lambda_2^{new}y_2k_{21} - \sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ik_{i1} \notag \\
\end{align}
\]
我们需要化简上式中的\(y_1 - \sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ik_{i1}\)，我们来看预测差值，也就是
\[\begin{align}
E_1 & = g(x_1) - y_1 \notag \\
& = \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_iy_ik(x_i,x_1)+b^{old} - y_1 \notag \\
& = \lambda_1^{old}y_1k_{11} + \lambda_2^{old}y_2k_{21} + \sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ik_{i1} - y_1 +b^{old} \notag \\
\end{align}
\]
从上式中可以得知\(y_1 - \sum\limits_{i=3}^{n}\lambda_iy_ik_{i1} = -E_1 + \lambda_1^{old}y_1k_{11} + \lambda_2^{old}y_2k_{21} +b^{old}\)，因此b中的更新可以进行替换。
\[\begin{align}
b_1^{new} & = -E_1 + \lambda_1^{old}y_1k_{11} + \lambda_2^{old}y_2k_{21} +b^{old} - \lambda_1^{new}y_1k_{11} - \lambda_2^{new}y_2k_{21} \notag \\
& = -E_1 - y_1k_{11}(\lambda_1^{new} - \lambda_1^{old}) + y_2k_{21}(\lambda_2^{new} - \lambda_2^{old}) +b^{old} \notag \\
\end{align}
\]
那么所有解的推导式子都有了，更新只要根据式子进行更新就行。
上面的式子就能更新，选出俩个\(\lambda_i\)，之后根据公式求得\(\lambda_i\)，然后进行可行域的判断，是否超出了上下界，之后更新b。之后在初始选取俩个\(\lambda_i\)方面出现了很多方法，第一个\(\lambda_i\)大多数都是利用KKT条件，也就是选取不满足KKT条件，那为什么要选择呢？这是因为SMO其实就是调整划分边界的过程，其中肯定有不满足\(y_i(W^Tx_i+b) \geq 1\)的存在，如果一个\(\lambda_i\)违背KKT条件程度越大，它就表现得越靠近划分边界，最开始的最大值就会越小，它对最开始的最大化函数的减幅也是最大的，所以要先优化它。在代码中
# 检查是否满足KKT条件
if ((labelMat[i]*error < -toler) and (alphas[i] < C)) \
or ((labelMat[i]*error > toler) and (alphas[i] > 0)):
其中labelMat[i]就是数据类别，error就是误差，表现得就是\(error = W^Tx_i + b - y_i\)，toler就是自己设置的容错率，alphas[i]就是\(\lambda_i\)，先看第一个条件，其中的labelMat[i]*error < -toler表明了
\[y_i(W^Tx_i + b - y_i) < -toler \\
y_i(W^Tx_i + b) - 1 + toler < 0 \\
那么可得y_i(W^Tx_i + b)<1
\]
其中如果有软间隔的话，下面会讲，\(y_i(W^Tx_i + b)<1\)的数据都会被调整到支持向量上，这时\(\lambda_i = C\)，但是\(\lambda_i < C\)，这样的数据就不满足KKT条件了。第二个条件就是labelMat[i]*error > toler，那么
\[y_i(W^Tx_i + b - y_i) > toler \\
y_i(W^Tx_i + b) - 1 - toler > 0 \\
那么可得y_i(W^Tx_i + b)>1
\]
\(y_i(W^Tx_i + b)>1\)代表了它不是支持向量，是那些比较远的数据，这类数据如果想要满足KKT条件的话，\(\lambda_i = 0\)，但是条件是\(\lambda_i > 0\)，那么自然不满足KKT条件了。
对于第二个\(\lambda_i\)的选择，也有很多种方法，其中代表的就是选取与第一个差异最大的数据，能使目标函数有足够大的变化。
那么整理一下整个过程：
- 先选取一个\(\lambda_i\)，计算它的误差，查看是否满足KKT条件(是否被优化)；
- 满足条件，使用方法选择另外一个\(\lambda_j\)，再计算它的误差；
- 约束\(\lambda_i\)和\(\lambda_j\)的可行域范围；
- 下面就是求新的\(\lambda_i\)的值了，根据是\(\lambda_i\)新和旧的公式，先计算那个分母，查看它的值；
- 根据公式计算出新的值，优化幅度不大的话，可以结束，进行下一轮；
- 计算出另外一个aj的新值；
- 计算出b的值；
- 如果已经没有被优化的次数超过了限制次数，说明不用优化了；
软间隔SVM
到目前为止，我们的SVM还很脆弱，它只能被用在线性可分的数据，并且还不能有噪声点，这样的模型是无法使用到现实数据中，因为现实数据的复杂性，会出现很多噪声点和离群点，
图8. 有噪声点的情况
从图8中看出，SVM的要求很严格，即使你分类正确了，也要达到一定的置信度，小于这个置信度，你依然会有损失的存在。我们需要处理这些在虚线内部的点，也就是让SVM放宽条件，允许模型犯一点小错误，让目标函数加上损失。
\[min\frac{1}{2}|W|^2 + loss
\]
关键是什么样的损失函数能够满足SVM？SVM模型只是由支持向量点决定的，对于普通的点，那是没有任何关系的，所以损失函数也要考虑到这一点，我们可以先来列出要求
- 如果\(y_i(W^Tx_i + b) \geq 1\)，\(loss = 0\)。
- 如果\(y_i(W^Tx_i + b) < 1\)，\(loss = 1 - y_i(W^Tx_i + b)\)
这样的话，我们将之组合起来，变成
\[loss = max\{0, 1-y_i(W^Tx_i + b)\}
\]
这样就能保持SVM解的稀疏性，我们将之称为hingle loss，合页损失。简单画一下它的图像就是
图9. hingle loss
这样我们就可以将损失带入到目标函数中，变成
$$
\min\limits_{W,b}\frac{1}{2}|W|^2 + C\sum\limits_{i=1}^nmax\{0, 1-y_i(W^Tx_i + b)\} \\
s.t. y_i(W^Tx_i + b) \geq 1，i=1,2,\dots,n
$$
这样是可以继续简化的，就是将
$$
\xi_i = 1-y_i(W^Tx_i + b), \xi_i \geq 0
$$
目标函数就变成了
$$
\min\limits_{W,b}\frac{1}{2}|W|^2 + C\sum\limits_{i=1}^n\xi_i \\
s.t. y_i(W^Tx_i + b) \geq 1 - \xi_i，i=1,2,\dots,n \\
\xi_i \geq 0
$$
上面这个就是软间隔SVM的目标函数，它的求解与上面的硬间隔SVM是一样的。软间隔SVM是允许有一点点错误的数据存在，但是如果数据完全不是线性可分的呢，那么上面的方法都无法解决，那该如何？
核函数
我们来看一个经典的异或问题，
图10. 异或问题
图中有四个点，原点为一类，叉点为一类，这些数据就不是线性可分，那么上面的SVM不能应用到这类数据中，这样的话，我们辛辛苦苦推导了那么久的SVM，原来这么鸡肋，因为现实中还有更复杂的数据，SVM难道都不行吗？我们先来看这个异或问题该如何解决，SVM所处理的数据肯定是线性可分的，这一点无法改变，那我们能不能改变其他方面，比如将这些线性不可分的点变成线性可分的点，可以试一试，毕竟实践出真知，我们将二维变成三维，再加上一个特征，这个特征值为$(x_1 - x_2)^2$，那么其中的叉点变成了(0,1,1)和(1,0,1)，圆点变成了(0,0,0)和(1,1,0)，画出这个三维图像就是
图10. 异或问题
我们可以看到三维之后，数据就变得线性可分了，这也是cover定理，高维比低维更易线性可分，那么我们可以直接在SVM中将数据更成高维，让它变得线性可分，这种利用高维线性可分的方法也被称为核方法，我们将$\phi(x)$称为数据变成高维的方法，那么所有的数据$x$都要变成$\phi(x)$，我们上面求出SVM的最终解就变成了
$$
\max\limits_{\lambda}-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_ix_i^T\lambda_jy_jx_j + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \to \max\limits_{\lambda}-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_iy_i\phi(x_i)^T\lambda_jy_j\phi(x_j) + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \notag
$$
在很多实际的应用中，$\phi(x)$函数需要将数据变成很高的维度甚至无限维，这样的话，$\phi(x)$的计算就会变得很复杂，一旦复杂，就很难计算，式中需要先计算$\phi(x_i)^T$，再计算$\phi(x_j)$，最后还要计算俩个式子的乘机$\phi(x_i)^T\phi(x_j)$。一看就知道很复杂，那么我能不能直接计算出$\phi(x_i)^T\phi(x_j)$的值呢，不用计算其中的$\phi(x_i)^T$和$\phi(x_j)$，当然也是可以的，这种直接计算的技巧被称为核技巧，那么我们定义出
$$
K(x_i,x_j) = \phi(x_i)^T\phi(x_j) = <\phi(x_i), \phi(x_j)>
$$
其中$<>$代表内积，$K(x_i,x_j)$就被称为核函数，在很多文献中也会严格的称它为正定核函数，而一般核函数的定义就是
$$
K: \chi \times \chi \to R \\
\forall x,z \in \chi，称K(x,z)为核函数
$$
可以看出一般核函数只要是能将数据映射到实数域中就可以了，并不要求是某个函数的内积。而正定核函数是要求内积的，定义就是
$$
K: \chi \times \chi \to R, \forall x,z \in \chi，有K(x,z), \\
如果\exists \phi: \chi \to R, 并且\phi \in 希尔伯特空间, \\
K(x,z) = <\phi(x), \phi(z)>,那么称K(x,z)为正定核函数.
$$
那么我们怎么证明一个函数是正定核函数呢？不能用定义来证明啊，也无法证明，那么就有了下面的条件
$$
K: \chi \times \chi \to R, \forall x,z \in \chi，有K(x,z), \\
如果K(x,z)满足对称性和正定性，那么K(x,z)就是正定核函数。
$$
其中的对称性就是$K(x,z) = K(z,x)$，而正定性就是任意取N个元素，都是属于$\chi$，对应的gram matrix是半正定的，而其中的gram matrix就是$G = [K(x_i,x_j)]$，下面就是数学知识了，先来看希尔伯特空间，可能一上来就说希尔伯特空间比较懵，我们先来看最简单的线性空间，线性空间只定义了数乘与加法，但是我们想研究向量的长度怎么办，就加入范式，还想研究向量的角度怎么办，就加入内积，变成了内积空间，如果我们还想研究收敛性，就要定义完备性，而完备的内积空间就是希尔伯特空间，完备性就是空间函数的极限还是在希尔伯特空间中，内积也是有对称性、正定性和线性，其中的对称性也是上面那种，$
= $，正定性就是$ \geq 0$，并且等于0的情况只有f = 0，线性就是$ = r_1+ r_2$。
这里我们例举出几个常见的核函数，对于这方面，我的了解也不是很深，
- 线性核，\(K(x_i,x_j) = x_i^Tx_j\)，其实就是没核，还是以前样子。
- 多项式核，\(K(x_i,x_j) = (x_ix_j + R)^d\)，R代表一个设定的数，d就是次方，当d=1的时候，就是线性核。
- 高斯核，也称为RBF核，\(K(x_i,x_j) = e^{-\frac{|x_i - x_j|^2}{2\sigma^2}}\)，这是最常用的核函数。
- 拉普拉斯核，\(K(x_i,x_j) = e^{-\frac{|x_i - x_j|}{\sigma}}\)。
- sigmoid核，\(K(x_i,x_j) = tanh(\beta x_i^Tx_j + \theta)\)。
下面我们看一下最常见的RBF核函数是如何将数据变成无限维的，其中用到了泰勒公式
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum\limits_{n=0}^{N}\frac{x^n}{n!}
\]
推导如下：
\[\begin{align}
K(x_i,x_j) & = e^{-\frac{|x_i - x_j|^2}{2\sigma^2}} \notag \\
& = e^{-\frac{x_i^2}{2\sigma^2}} e^{-\frac{x_j^2}{2\sigma^2}} e^{\frac{x_ix_j}{\sigma^2}} \notag \\
& = e^{-\frac{x_i^2}{2\sigma^2}} e^{-\frac{x_j^2}{2\sigma^2}} \sum\limits_{n=0}^{N}\frac{(\frac{x_ix_j}{\sigma^2})^n}{n!} \notag \\
& = \sum\limits_{n=0}^{N} \frac{1}{n!\sigma^{2n}} e^{-\frac{x_i^2}{2\sigma^2}}x_i^n e^{-\frac{x_j^2}{2\sigma^2}}x_j^n \notag \\
& = \sum\limits_{n=0}^{N}(\frac{1}{n!\sigma^{2n}} e^{-\frac{x_i^2}{2\sigma^2}}x_i^n)( \frac{1}{n!\sigma^{2n}}e^{-\frac{x_j^2}{2\sigma^2}}x_j^n) \notag \\
& = \phi(x_i)^T\phi(x_j)
\end{align}
\]
从上面可以看出RBF核函数已经将\(x_i\)和\(x_j\)变成了无限维的
\[x_i = e^{-\frac{x_i^2}{2\sigma^2}}(1,\frac{x_i}{\sigma^2},\frac{x_i^2}{2\sigma^{2\times 2}},\dots)
\]
核函数不只是在SVM中应用到，其他机器学习模型中也会用到核函数这一概念，毕竟它的思想都是通用，就是高维比低维更加线性可分。
总结
支持向量机在我的研究中用的很少，主要我一直认为它只用于二分类中，并且我一直对核函数并没有深入的了解过，对于SVM最新的发展研究也没有关注过，以前用过一次，就用到我的集成模型中作为我的基学习器，并且也用到了SVM的增量学习，其实我看的是一个中文文献中的SVM增量学习，算法也是非常简单，主要还是看后来的数据是不是支持向量，但是后来那个模型失败了，就没搞过SVM。本文中所有的代码都在我的github。
