一文彻底理解逻辑回归：从公式推导到代码实现
传送门：点我。
前言
大家好，这里是 Codeman 。这是本文的第二次修订，在前文的基础之上，这次我增加了很多公式的推导，从数学原理到代码实现，本文提供了一站式服务，希望能帮助读者从根上理解逻辑回归，一劳永逸地解决问题！
多次修订，只源于我精益求精的人生态度。写博客，我是认真的！如果你觉得本文确实对你有帮助，请点个赞支持我一下吧 🌹
正文
逻辑回归在社会和自然科学中应用非常广泛，它其实是一种统计学习方法，因为它的底层方法就是线性回归。它们不同的地方在于：线性回归适用于解决回归问题，而逻辑回归适用于解决分类问题。这是为什么呢？别急，看完本文你就懂了。因此，我们可以说逻辑回归是基于回归的伪回归算法！
在自然语言处理中，逻辑回归是用于分类的基线监督机器学习算法，它与神经网络也有非常密切的关系，神经网络可以被视为一系列堆叠在一起的逻辑回归分类器。
由于后文涉及到很多数学公式的推导，因此我们先做一个符号约定：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(𝑚\) | 训练集中样本的数量 |
| \(𝑛\) | 特征的数量 |
| \(𝑥\) | 特征/输入变量 |
| \(𝑦\) | 目标变量/输出变量 |
| \((𝑥,𝑦)\) | 训练集中的样本 |
| \((𝑥^{(𝑖)},𝑦^{(𝑖)})\) | 第 \(𝑖\) 个观察样本 |
| \(𝑥_j^{(i)}\) | 第 \(𝑖\) 个观察样本的第 \(j\) 个特征 |
| \(ℎ\) | 学习算法的解决方案或函数，也称为假设（hypothesis） |
| \(\widehat{𝑦}=ℎ(𝑥)\) | 预测值 |
我们先从线性回归开始讲起，一步一步地领略逻辑回归的全貌。
1.线性回归
线性回归是一种使用特征属性的线性组合来预测响应的方法。它的目标是找到一个线性函数，以尽可能准确地描述特征或自变量（\(x\)）与响应值（\(y\)）之间的关系，使得预测值与真实值之间的误差最小化。
1.1 数学定义
在数学上，线性回归要找的这个线性函数叫回归方程，其定义如下：
其中，\(h(x^{(i)})\)表示第 \(i\) 个样本的预测响应值。\(b_0\) 和 \(b_1\) 是回归系数，分别代表回归线的 \(y\) 轴截距和斜率。这种形式通常见于特征只有单个属性的时候，也就是一元线性回归，我们初高中所学的就是这种。
在机器学习中，通常每个样本都有 \(n\) 个特征属性，每个特征 \(x_i\) 都有一个对应的权值 \(w_i\)，此时我们需要的就是多元线性回归：
其中，\(x_0=1\) 没有实义，只是为了方便写成矩阵的形式，\(w_0\) 则等价于式 (1.1) 中的 \(\beta_0\)，把 \(\beta_0\) 融入矩阵中，不仅为了看起来简洁，也是为了方便计算。
若损失函数采用平方和损失:
则代价函数定义如下：
损失函数(Loss Function)度量单样本预测的误差，代价函数(Cost Function)度量全部样本的平均误差。常用的代价函数有均方误差、均方根误差、平均绝对误差等。
损失函数的系数 1/2 是为了便于计算，使对平方项求导后的常数系数为 1。
我们的目标是要找到一组 \(𝑤(𝑤_0,𝑤_1,𝑤_2,...,𝑤_𝑛)\)，使得代价函数 \(J(w)\) 最小，即最小化 \(\frac{\partial {𝐽(𝑤)}}{\partial 𝑤}\)。
下面我们将详细描述用最小二乘法求 \(𝑤\) 的推导过程。
1.2 最小二乘法
为了方便叙述，我们将\(J(w)\)用矩阵形式表达，即：
其中，\(𝑋\) 为 \(𝑚\) 行 \(𝑛+1\) 列的矩阵（第一列全为 \(1\)，即式 (1.2) 中的 \(x_0\)），\(𝑤\) 为 \(𝑛+1\) 行 \(1\) 列的矩阵(包含了 \(𝑤_0\) )，\(𝑌\) 为 \(𝑚\) 行 \(1\) 列的矩阵。
对式 (1.5) 求导，可得：
又 \(Y^TXw=(w^TX^TY)^T\)，\(\frac{𝑑𝑋^𝑇𝑋}{𝑑𝑋}=2𝑋\)，所以
令\(\frac{\partial {𝐽(𝑤)}}{\partial 𝑤}=0\)，则：
由上式可知，最小二乘法需要计算\((𝑋^𝑇𝑋)^{−1}\)，但是矩阵求逆的时间复杂度为 \(𝑂(𝑛3)\)，因此当特征数量 \(𝑛\) 较大时，其运算代价非常大。所以这种方法只适用于特征数量较少的线性模型，不适用于其他模型。
现代机器学习中常用的参数更新方法是梯度下降法。
1.3 梯度下降法
根据梯度下降的每一步中用到的样本数量，可以将梯度下降法分为以下三类：
| 类别 | 样本数量 | 公式 |
|---|---|---|
| 批量梯度下降(Batch Gradient Descent,BGD) | 所有 | \(w_{j}:=w_{j}-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)\cdot x_{j}^{(i)}\right)\) |
| 随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent,SGD) | 一个 | \(w_{j}:=w_{j}-\alpha\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)\cdot x_{j}^{(i)}\) |
| 小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent,MBGD) | 部分 | \(w_{j}:=w_{j}-\alpha\frac{1}{b}\sum_{k=i}^{i+b-1}\left(h\left(x^{(k)}\right)-y^{(k)}\right) x_{j}^{(k)}\) |
其中，\(\alpha\) 称为学习率。根据公式，不难看出，BGD 和 SGD 其实是 MBGD 的 \(b\) 取值为 \(m\) 和 \(1\) 时的特殊情况。我们以 SGD 为例，推导一遍参数的更新过程。
又 \(w_j=w_j-\alpha\frac{\partial}{\partial w_{j}} J(w)\)，所以
1.4 回归的评价指标
监督学习主要分回归和分类两种，二者的评价指标是截然不同的。我们先在此介绍回归的评价指标。
首先是误差要越小越好，主要是下面几种：
| 指标 | 公式 |
|---|---|
| 均方误差（Mean Square Error,MSE） | \(MSE=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}\) |
| 均方根误差（Root Mean Square Error,RMSE） | \(RMSE(y, \widehat{y})=\sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}}\) |
| 平均绝对误差（Mean Absolute Error,MAE） | \(MAE(y, \widehat{y})=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n} |y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)} |\) |
其次是 \(R^2\) 要越大越好，它越接近于 1，说明模型拟合得越好。计算公式如下：
其中，\(SSR=\sum_{i=0}^{m}\left(\widehat{y}^{(i)}-\bar{y}\right)^{2}\),\(SSE=\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}\),\(SST=\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\bar{y}\right)^{2}\)。
SST 是 Sum of Squares Total 的缩写，含义是总平方和。它是变量 \(y\) 与其平均值 \(\bar{y}\) 之差的平方和。我们可以将其视为对于变量 \(y\) 在其平均值 \(\bar{y}\) 周围的分散程度的一种度量，很像描述性统计中的方差。
SSR 是 Sum of Squares Regression 的缩写，含义是回归的平方和。它是预测值 \(\widehat{y}\) 与平均值 \(\bar{y}\) 之差的平方和。我们可以将其视为描述回归线与数据的拟合程度的一种度量。
SSE 是 Sum of Squares Error 的缩写，含义是误差的平方和。它是预测值 \(\widehat{y}\) 与观测值 \(y\) 之差的平方和。
从图中不难看出，三者的关系是：SST = SSR + SSE。如果 SSR 的值等于 SST，这意味着我们的回归模型是完美的。
2.逻辑回归
我们前面说过，逻辑回归和线性回归不同的地方在于：线性回归适用于解决回归问题，而逻辑回归适用于解决分类问题。本节我们就讲讲造成这种差异的原因。
2.1 Sigmoid函数
我们知道逻辑回归的目标是训练一个分类器，该分类器可以对输入数据的类别做出决策。以二元逻辑回归为例，对于一个输入 \(x(x_1,x_2,...,x_n)\)，我们希望分类器能够输出 \(y\) 是 1（是某类的成员）或 0（不是某类的成员）。也就是说，我们想知道这个输入 \(x\) 是该类成员的概率 \(P(y = 1|x)\)。
我们知道逻辑回归的底层就是线性回归，但是线性回归解决的是回归问题，那我们如何将一个回归问题转化为一个分类问题呢？为了方便讨论，我们再对式 (1.2) 做一点形式变换，即令
有些地方写的是 \(z=𝑤^𝑇𝑥+𝑏\)，其实是一样的，因为 \(b\) 可以融入到 \(w_0\) 中。
我们观察式 (2.1)，不难发现，\(z\) 的输出范围没有任何限制，即 \((-∞, +∞)\)。而作为一个分类器，我们需要输出的是位于 0 和 1 之间的合法概率值。而为了完成这一步转变，我们就需要 Sigmoid函数 \(σ(z)\)。Sigmoid 函数（命名是因为它的图像呈𝑆形）也称为逻辑函数，逻辑回归的名称也由此而来。
Sigmoid 有许多优点，它能将任意实数映射到 \([0,1]\) 范围内，而且任意阶可导。它在 0 附近几乎是线性的，但在两端趋于平缓，它能将异常值压向 0 或 1。
我们将式 (2.1) 的值代入上式，就能得到一个介于 0 和 1 之间的概率。对于一个二元逻辑回归，我们只需要确保 \(P(y = 1)+P(y = 0)=1\) 即可。我们可以这样做：
根据 Sigmoid 函数的性质：
我们也可以将 \(P(y = 0)\) 表示为 \(σ(−z)\)。
好了，现在我们已经有了概率值，那么概率值大于多少我们认为它是属于 1 类呢？通常，如果概率 \(P(y = 1|x)\) 大于 \(0.5\)，我们认为是，否则就不是。这个 0.5 被称为决策边界。
总结：逻辑回归的总体思路就是，先用逻辑函数把线性回归的结果 (-∞,∞) 映射到 (0,1)，再通过决策边界建立与分类的概率联系。
逻辑函数还有一个很好的特性就是，其导函数可以转化成本身的一个表达式，推导过程如下：
在二分类模型中，事件发生与不发生的概率之比 \(\frac{𝑝}{1−𝑝}\) 称为事件的几率（odds）。令\(\sigma(z)=p\)，解得：
也就是说，线性回归的结果（即 \(z\) ）等于对数几率。
2.2 代价函数
下面我们讲讲模型的参数如何更新。我们使用极大似然估计法来求解。极大似然估计法利用已知样本结果，反推最有可能导致这样结果的原因。我们的目标就是找到一组参数，使得在这组参数下，我们的样本的似然度（概率）最大。
对于一个二分类模型，已知 \(P(y=1)=\sigma(z),P(y=0)=1-\sigma(z)\), 则似然函数为：
等式两边同时取对数：
则代价函数为：
其实，式（2.9）前面再加一个负号，就是我们常用的损失函数——交叉熵损失（cross-entropy loss）。
代价函数之所以要加负号，是因为机器学习的目标是最小化损失函数，而极大似然估计法的目标是最大化似然函数。那么加个负号，正好使二者等价。
2.3 梯度下降法求解
求解逻辑回归的方法有非常多，我们这里主要了解一下梯度下降法。
将式 (2.2) 代入式 (2.10)，得：
对 \(J(w)\) 求偏导，得：
所以：
2.4 逻辑回归的分类
逻辑回归对特征变量（x）和分类响应变量（y）之间的关系进行建模，在给定一组预测变量的情况下，它能给出落入特定类别响应水平的概率。也就是说，你给它一组数据（特征），它告诉你这组数据属于某一类别的概率。根据分类响应变量（y）的性质，我们可以将逻辑回归分为三类：
- 二元逻辑回归（Binary Logistic Regression）
当分类结果只有两种可能的时候，我们就称为二元逻辑回归。例如，考试通过或未通过，回答是或否，血压高或低。 - 名义逻辑回归（Nominal Logistic Regression）
当存在三个或更多类别且类别之间没有自然排序时，我们就称为名义逻辑回归。例如，企业的部门有策划、销售、人力资源等，颜色有黑色、红色、蓝色、橙色等。 - 序数逻辑回归（Ordinal Logistic Regression）
当存在三个或更多类别且类别之间有自然排序时，我们就称为序数逻辑回归。例如，评价有好、中、差，身材有偏胖、中等、偏瘦。注意，类别的排名不一定意味着它们之间的间隔相等。
2.5 Softmax Regression
我们以上讨论都是以二元分类为前提展开的，但有时可能有两个以上的类，例如情绪分类有正面、负面或中性三种，手写数字识别有 0-9 总共十种分类。
在这种情况下，我们需要多元逻辑回归，也称为 Softmax Regression。在多元逻辑回归中，我们假设总共有 \(K\) 个类，每个输入 \(x\) 只能属于一个类。也就是说，每个输入 \(x\) 的输出 \(y\) 将是一个长度为 \(K\) 的向量。如果类 \(c\) 是正确的类，则设置\(\mathbf{y}_c=1\)，其他元素设置为 0，即\(\mathbf{y}_{c}=1，\mathbf{y}_{j}=0\quad\forall j \neq c\)。这种编码方式称为 one-hot 编码。此时，分类器的工作是产生一个估计向量。对于每个类 \(k\)，产生一个概率估计 \(P(y_k = 1|x)\)。
多元逻辑分类器采用 sigmoid 的泛化函数 softmax 来计算 \(P(y_k = 1|x)\)。它能将 \(K\) 个任意值的向量 \(z = [z_1,z_2,\dots,z_K]\) 映射到 (0,1) 范围内的概率分布上，并且所有值的总和为 1 。其定义如下：
因此，输入向量 \(z = [z_1,z_2,\dots,z_K]\) 的 softmax输出如下：
举个例子，若 \(\mathbf{z}=[0.6,1.1,-1.5,1.2,3.2,-1.1]\)，则
与 sigmoid 一样，softmax 也具有将异常值压向 0 或 1 的特性。因此，如果其中一个输入远大于其他输入，它将倾向于将其概率推向 1，并抑制较小输入的概率。
由于现在有 \(K\) 个类别，而且每一个类别都有一个单独的权重向量 \(w_k\)，则每个输出类别的概率估计 \(\widehat{y_k}\) 应该这样计算：
上式看起来我们将分别每个类别计算输出。但是，我们可以将 \(K\) 个权重向量表示为权重矩阵 \(W\)。\(W\) 的第 \(k\) 列对应于权重向量 \(w_k\)。因此，\(W\) 的形状为 \([(n+1) \times K]\)，其中，\(K\) 是输出类的数量，\(n\) 是输入特征的数量，加 \(1\) 对应的就是偏置。这样一来，我们还是可以通过一个优雅的公式计算 \(\widehat{y}\)：
3. 代码实现（Pytorch）
class LogisticRegression(torch.nn.Module):
def __init__(self, num_features):
super(LogisticRegression, self).__init__() #调用父类的构造函数
self.linear = torch.nn.Linear(num_features, 1)
self.linear.weight.detach().zero_() #权值初始化为0
self.linear.bias.detach().zero_() #偏置初始化为0
def forward(self, x):
logits = self.linear(x)
probas = torch.sigmoid(logits)
return probas
在 Pytorch 中可以通过继承torch.nn.Module类来实现自定义模型，在__init__中定义每一层的构造，在forward中定义每一层的连接关系，是实现模型功能的核心，且必须重写，否则模型将由于无法找到各层的连接关系而无法执行。
torch.nn.Linear对传入的数据做线性变换，weight 和 bias 是它的两个变量，分别代表学习的权值和偏置。
4. 鸢尾花分类
我们以鸢尾花数据的分类为例，做一个简单地用 Logistic 回归进行分类的任务。
- 数据集获取与划分
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from io import BytesIO
import torch
import torch.nn.functional as F
ds = np.lib.DataSource()
fp = ds.open('http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data')
x = np.genfromtxt(BytesIO(fp.read().encode()), delimiter=',', usecols=range(2), max_rows=100)
y = np.zeros(100)
y[50:] = 1
np.random.seed(1)
idx = np.arange(y.shape[0])
np.random.shuffle(idx)
X_test, y_test = x[idx[:25]], y[idx[:25]]
X_train, y_train = x[idx[25:]], y[idx[25:]]
mu, std = np.mean(X_train, axis=0), np.std(X_train, axis=0)
X_train, X_test = (X_train - mu) / std, (X_test - mu) / std
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 2.5))
ax[0].scatter(X_train[y_train == 1, 0], X_train[y_train == 1, 1])
ax[0].scatter(X_train[y_train == 0, 0], X_train[y_train == 0, 1])
ax[1].scatter(X_test[y_test == 1, 0], X_test[y_test == 1, 1])
ax[1].scatter(X_test[y_test == 0, 0], X_test[y_test == 0, 1])
plt.show()
实际的数据共有152行，我们只取前100行。按照下标随机打乱之后来划分训练集和测试集。其中，训练集有75行，测试集有25行。
- 模型训练
model = LogisticRegression(num_features=2).to(device)
cost_fn = torch.nn.BCELoss(reduction='sum')
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1)
def custom_where(cond, x_1, x_2):
return (cond * x_1) + ((1-cond) * x_2)
def comp_accuracy(label_var, pred_probas):
pred_labels = custom_where((pred_probas > 0.5).float(), 1, 0).view(-1)
acc = torch.sum(pred_labels == label_var.view(-1)).float() / label_var.size(0)
return acc
num_epochs = 10
X_train_tensor = torch.tensor(X_train, dtype=torch.float32, device=device)
y_train_tensor = torch.tensor(y_train, dtype=torch.float32, device=device).view(-1, 1)
for epoch in range(num_epochs):
#### Compute outputs ####
out = model(X_train_tensor)
#### Compute gradients ####
cost = cost_fn(out, y_train_tensor)
optimizer.zero_grad()
cost.backward()
#### Update weights ####
optimizer.step()
#### Logging ####
pred_probas = model(X_train_tensor)
acc = comp_accuracy(y_train_tensor, pred_probas)
print('Epoch: %03d' % (epoch + 1), end="")
print(' | Train ACC: %.3f' % acc, end="")
print(' | Cost: %.3f' % cost_fn(pred_probas, y_train_tensor))
print('\nModel parameters:')
print(' Weights: %s' % model.linear.weight)
print(' Bias: %s' % model.linear.bias)
BCELoss计算目标值和预测值之间的二进制交叉熵损失函数，数学公式如下：
其中，\(w\)、\(y\)、\(y'\) 分别表示权值、标签（target）、预测概率值（input probabilities）。reduction取值为sum表明对样本的损失值进行求和。
输出如下：
Epoch: 001 | Train ACC: 0.987 | Cost: 5.581
Epoch: 002 | Train ACC: 0.987 | Cost: 4.882
Epoch: 003 | Train ACC: 1.000 | Cost: 4.381
Epoch: 004 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.998
Epoch: 005 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.693
Epoch: 006 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.443
Epoch: 007 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.232
Epoch: 008 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.052
Epoch: 009 | Train ACC: 1.000 | Cost: 2.896
Epoch: 010 | Train ACC: 1.000 | Cost: 2.758
Model parameters:
Weights: Parameter containing:
tensor([[ 4.2267, -2.9613]], requires_grad=True)
Bias: Parameter containing:
tensor([0.0994], requires_grad=True)
- 模型评估
X_test_tensor = torch.tensor(X_test, dtype=torch.float32, device=device)
y_test_tensor = torch.tensor(y_test, dtype=torch.float32, device=device)
pred_probas = model(X_test_tensor)
test_acc = comp_accuracy(y_test_tensor, pred_probas)
print('Test set accuracy: %.2f%%' % (test_acc*100))
输出如下：
Test set accuracy: 100.00%
结语
一个非常基础的入门级的机器学习算法，但是要完全讲透还是非常困难，尤其是公式的推导部分，光用文字描述很难讲清楚，但是总体上公式的推导都没问题，只是说第一眼看不是那么容易懂，多看几遍或者自己在纸上写一写还是不难理解的。另外，也请读者发现错误后能在评论区指出，我看到后会及时更正。
全文写下来洋洋洒洒六千字，也花费了好几天的时间，从自己理解到写出来让别人看懂，这之间差别真的很大，可能也是我不善于表达，词不达意，也请大家见谅。
篇幅这么长，公式这么多，看完本文你可能什么也记不住，但是这两点你一定要记住：
1. Logistic回归不适用于解决回归问题，它适用于解决分类问题。千万不要被它的名称迷惑！
2. Logistic回归 = 线性回归 + Sigmoid 函数。当然了，如果是多元回归的话就是 softmax 函数。
例行公事😂：如果你觉得本文确实对你有帮助，请点个赞支持我一下吧 🌹
