【题解】 Codeforces 1852A Ntarsis' Set

题目传送门：Codeforces 1852A Ntarsis' Set

题意

给定一个集合，里面初始有 \(1,2,3...10^{1000}\)，告诉你每天会拿掉其中的第 \(a_1, a_2, a_3 ...a_n\) 个，询问这样的 \(k\) 天之后剩下的最小的数是多少。

分析

• 思考如果 \(x\) 在这天没有被删掉，那么哪些被删掉的位置会对它产生什么样的影响

  解答：如果 \(a_i < pos_{x} < a_{i + 1}\) ，那么他会移动到 \(pos_x - i\) 的位置

• 带着这个发现，去反向模拟

题解

首先我们运用逆向思维，不去直接模拟删除元素，而是模拟插入 \(0\) 的过程，其中每一轮将 \(0\) 插入要删除的位置，即 $ a_i - i$ ，这样操作 \(k\) 天后，1出现的位置即为输出结果。

如何模拟这个过程呢？我们可以简化这个思路，第一个 \(1\) 之后插入的 \(0\) 是对答案没有贡献的，因此我们只需要计算哪些插入对答案有贡献即可，如何计算数值在第几天之后有贡献呢：

• 如果第一个元素是 \(1\) ，那么第一天就会有贡献
• 如果第二个元素是 \(2\) ，那么第二天会有贡献
• 如果第二个元素是 \(4\) ，那么第四天会有贡献
• 推广至第 \(inc\) 个元素，设当前 \(1\) 的位置为 \(ans\) ，那么还需要(a[inc] - ans + inc - 1) / inc 天才能有贡献

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, k, a[200010];

void solve() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[i] -= i;
    }
    if (a[0] != 1) {
        cout << 1 << "\n";
        return;
    }
    a[n] = 2e9;
    //start at position 1, and find what number moves to its position
    long long ans = 1;
    int inc = 1; //how many zeroes to insert
    while (inc < n) {
        int days = (a[inc] - ans + inc - 1) / inc; // 需要多少天才能有效贡献
        if (days >= k){ // k不足，计算之前的元素可以贡献的有效的插入的0
            ans += k * inc;
            k = 0;
            break;
        }
        ans += days * inc; // k充足，计算总贡献
        k -= days; // 这里 - days，表示 花费的轮数
        // 小于的元素，表示已经被前面的其他元素覆盖，没起作用
        while (a[inc] <= ans) inc++; 
    }
    ans += 1ll * k * n; // 剩下的k轮，每次可以插入n个0,走n步
    cout << ans << "\n";
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(nullptr);

    int t; cin >> t;
    while (t--) solve();
}