【算法】博弈论基础

一、四大博弈模型

1、巴什博奕

定义：一堆n个物品，两个人轮流从中取出不多于m个，最后取光者胜，不能继续取的人输；

结论：若n%(m+1)!=0，则先手必胜，反之先手必输

2、尼姆博弈

定义：n堆物品，每堆物品的个数任意，两人轮流取，每次取某堆中不少于1个，最后取完者必胜。

结论：将每堆物品的数量全都异或起来，若值为0，则先手必败，否则先手必胜。

3、斐波那契博弈

定义：有一堆物品，共n个，两人轮流取物，先手可取任意件，但不能不取，也不能把物品取完，之后每次取的物品不能超过上一次的两倍，且至少为1件，取走最后一件物品的人获胜。

结论：当且仅当n不是斐波那契数时，先手胜。

4、威佐夫博弈

定义：有两堆物品，数量分别为a个和b个，两个人轮流取物，每次可以从一堆中取出任意个，也可以从两堆中取出相同数量的物品，每次至少要取一个，最后取完所有物品的人获胜。

结论：若\(abs(a-b) \times { \sqrt{5}+1\over 2}==min(a,b)\)成立，则后手获胜，否则先手获胜。

二、SG定理

公平组合游戏 - OI Wiki (oi-wiki.org)

1、NIM博弈

针对nim游戏

定义 必胜状态 为 先手必胜的状态，必败状态 为 先手必败的状态。

通过推理，我们可以得出下面三条定理：

• 定理 1：没有后继状态的状态是必败状态。
• 定理 2：一个状态是必胜状态当且仅当存在至少一个必败状态为它的后继状态。
• 定理 3：一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继状态均为必胜状态。

对于定理 1，如果游戏进行不下去了，那么这个玩家就输掉了游戏。

对于定理 2，如果该状态至少有一个后继状态为必败状态，那么玩家可以通过操作到该必败状态；此时对手的状态为必败状态——对手必定是失败的，而相反地，自己就获得了胜利。

对于定理 3，如果不存在一个后继状态为必败状态，那么无论如何，玩家只能操作到必胜状态；此时对手的状态为必胜状态——对手必定是胜利的，自己就输掉了游戏。

如果博弈图是一个有向无环图，则通过这三个定理，我们可以在绘出博弈图的情况下用 的时间（其中 N为状态种数,M为边数)得出每个状态是必胜状态还是必败状态。

2、NIM和

定义NIM和sum=\(a_1\)\(\bigoplus\)\(a_2\)...\(\bigoplus\)\(a_n\)

当且仅当sum=0时，该状态为必败状态，否则是必胜状态。

证明

SG函数应用