关于 多重背包
问题描述：
有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，第 i 件物品最多有 Si 件。每件体积是 w[i] ，价值是 v[i] 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
问题特点：
第 i 件物品最多有 Si 件，可以选择不超过 Si 件的 i 物品放入背包中。
朴素版方程：
可以利用完全背包的想法，很容易得到：
for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 0; j <= m; j ++) for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
但时间复杂度过高（ O(N*S*V) ），那么我们能不能像思考完全背包优化版那样来优化一下多重背包？
如何优化？
从状态转移方程入手，将其拆开：
可以发现，我们只能求出 max( dp[i,j-v] ) ，并不能求出橙色方框里的 max ，因此也就不能求出 max( dp[i,j] ) ，那么就不能直接利用完全背包的思想来解决。
这里呢就要用到一种比较神奇的优化方式了：二进制优化方式。
假设第 i 个物品有 s=1023 个，那我们难道真的要一个一个枚举出来吗？傻子才这么做，正常人都这么想：
把若干个第 i 个物品打包一起考虑，假设分成10组，第一组1个，第二组2个，第三组4个，第四组8个，……第十组512个，每组最多只能选一次，然后看一下是否能从这十组中拼凑出从0~1023 中任何一个数呢？那当然是。因此，我们可以将每组看作成一个小的“01背包问题”，也就是用10个新的物品来表示原来的第 i 个物品，然后我们枚举新的物品选或者不选就可以拼凑出第 i 个物品的所有方案了。（从枚举1024次缩小成枚举十次，log(n)的做法。）
但是！比如 s=200，可以分成1、2、4、8、16、32、64，注意，不能分出第七组128，因为 i 最多只有200个，而从1加到128有255个。从1加到64是127，200-127=73，所以第七组被分成73个。
总结：如果我们有 S 个物品，那么我们可以拆分成 logS 组，也就相当于 logS（logS向上取整）个新物品，新物品只能用一次，对新物品做一次01背包问题。
这样一来，由原先的复杂度 O(N*S*V) 优化成现在的时间复杂度 O(N*V*logS) 了。
最后也就是多了这些：
1 int cnt = 0; 2 for(int i = 1; i <= n; i ++) 3 { 4 int a, b, s;//体积、价值、数量 5 cin >> a >> b >>s; 6 int k = 1; 7 while(k <= s) 8 { 9 cnt ++; 10 v[cnt] = a * k; 11 w[cnt] = b * k; 12 s -= k; 13 k *= 2; 14 } 15 if(k > 0) 16 { 17 cnt ++; 18 v[cnt] = a * s; 19 w[cnt] = b * s; 20 } 21 } 22 23 n = cnt;
