DeepLearning.ai学习笔记（一）神经网络和深度学习--Week3浅层神经网络
介绍
DeepLearning课程总共五大章节，该系列笔记将按照课程安排进行记录。
另外第一章的前两周的课程在之前的Andrew Ng机器学习课程笔记(博客园)&Andrew Ng机器学习课程笔记(CSDN)系列笔记中都有提到，所以这里不再赘述。
1、神经网络概要
注意：这一系列的课程中用中括号表示层数，例如\(a^{[1]}\)表示第二层(隐藏层)的数据。
2、神经网络表示
这个图的内容有点多，跟着下面的步骤来理解这个图吧：
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首先看蓝色字体，这个2层的神经网络(输入层一般理解成第0层)有输入层(input layer)、隐藏层(Hidden layer)、输出层(output layer)组成
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再看紫色字体，每一层用\(a^{[i]}, i=0,1...n\)表示，\(a^{[0]}\)表示输入层的所有数据。而下标则表示某一层的某一行的具体的数据，例如\(a^{[1]}_1\)表示隐藏层的第一个元素。
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最后是绿色字体，介绍的分别是\(w\)(权重)和\(b\)(偏置)，其中\(w^{[1]}\)表示输入层到隐藏层的权重，其是(4,3)的矩阵，而\(b^{[1]}\)是(4,1)的矩阵。
3、计算神经网络的输出
这个比较简单就不做过多解释了，主要就是线性代数的知识。
4、多个例子中的向量化
还是以上面的神经网络为模型进行介绍，向量化过程如下：
for i in range(m):
\(\quad \quad z^{[1](i)}=W^{[1]}x^{(i)}+b^{[1]}\)
\(\quad \quad a^{[1](i)}=σ(z^{[1](i)})\)
\(\quad \quad z^{[2](i)}=W^{[2]}x^{(i)}+b^{[2]}\)
\(\quad \quad a^{[2](i)}=σ(z^{[2](i)})\)
5、向量化实现的解释
上一节中使用了for循环和矩阵向量机，这里可以更加彻底地向量化，让运算更加简单，如下：
\(Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}\)
\(A^{[1]}=σ(Z^{[1]})\)
\(Z^{[2]}=W^{[2]}X+b^{[2]}\)
\(A^{[2]}=σ(Z^{[2]})\)
6、激活函数
常用的一共四个激活函数
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(1): \(σ(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\),一般只用在二元分类的输出层，因为二元分类一般要求输出结果\(y∈{0,1}\),而σ函数刚好其阈值就在0,1之间。而其它层更加建议用其他的激活函数。所以一个神经网络可以使用多种激活函数(用\(g^{[i]}\)表示第i层的激活函数)
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(2): \(tanh(z) = \frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}\)，上下界限分别是1，-1。它相比于\(σ(z)\)表现更好的原因是因为它的均值在0附近，有数据中心化的效果，所以下一层在学习的时候要更加方便和快速。但是\(σ(z)\)和\(tanh(z)\)有一个共同的缺点，就是当z很大或很小的时候，它们的斜率就会趋向于0，这会使得梯度下降的学习速率降低。
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(3): ReLu(The Rectified Linear Unit) 表达式是\(f(x)=max(0,x)\),它表现的效果是最好的，所以在不确定使用何种激活函数的时候就可以不顾一切的选择它~（难道这就是传说中的备胎？）
相比sigmoid和tanh函数，Relu激活函数的优点在于：-
梯度不饱和。梯度计算公式为：1{x>0}。因此在反向传播过程中，减轻了梯度弥散的问题，神经网络前几层的参数也可以很快的更新。
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计算速度快。正向传播过程中，sigmoid和tanh函数计算激活值时需要计算指数，而Relu函数仅需要设置阈值。如果x<0,f(x)=0，如果x>0,f(x)=x。加快了正向传播的计算速度。
因此，Relu激活函数可以极大地加快收敛速度，相比tanh函数，收敛速度可以加快6倍
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(4): Leaky Relu，你也许发现了Relu激活函数在当z小于0的时候导数为0，虽然这在实践中并不影响，但是为了进一步优化提出了Leaky Relu，在z小于0时导数不为0.表达式一般为\(f(x)=max(0.01x,x)\)。其中0.01是一个可调的参数，类似于学习步长α。
7、为什么需要非线性激活函数
如果不用激励函数（其实相当于激励函数是f(x) = x），在这种情况下你每一层输出都是上层输入的线性函数，很容易验证，无论你神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合，与只有一个隐藏层效果相当，这种情况就是多层感知机（MLP）了。
正因为上面的原因，我们决定引入非线性函数作为激励函数，这样深层神经网络就有意义了（不再是输入的线性组合，可以逼近任意函数）。最早的想法是sigmoid函数或者tanh函数，输出有界，很容易充当下一层输入（以及一些人的生物解释balabala）。
8、激活函数的导数
- \(σ'(z)=σ(z)(1-σ(z))\)
- \(tanh'(z)=1-(tanh(z))^2\)
- Relu:
- \(Relu'(z) =1 \ when\ z≥0;\)
- \(Relu'(z) = 0 \ when \ z<0\)
9、神经网络的梯度下降法
10、直观理解反向传播
9、10节的内容都是介绍的神经网络的计算过程，更加详细的可以参看Andrew Ng机器学习课程笔记--week5(上)(神经网络损失函数&反向传播算法）
11、随机初始化
在神经网络中,如果将参数全部初始化为0 会导致一个问题，例如对于上面的神经网络的例子，如果将参数全部初始化为0，在每轮参数更新的时候，与输入单元相关的两个隐藏单元的结果将是相同的，既：
\(a_1^{(2)}=a_2^{(2)}\)这个问题又称之为对称的权重问题，因此我们需要打破这种对称，这里提供一种随机初始化参数向量的方法： 初始化\(θ_{ij}^{(l)}\)为一个落在 [-ε,ε]区间内的随机数, 可以很小，但是与上面梯度检验( Gradient Checking)中的ε没有任何关系。
