二项分布期望和方差推导
若随机变量\(X\)服从二项分布,即\(X\sim B(n,p)\)， 则有\(P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\)，其均值和方差分别是
\(E(X)=np\)
\(D(X)=np(1-p)\)
之前学二项分布的时候看到它的期望和方差觉得形式很简单，就没怎么细看推导过程。但是自己去推导的时候发现也没那么简单。。。本文做个总结
二项分布期望
整个推导过程如下
\[\begin{align}
E(k) &=\sum_{k=0}^{n} k p(k) \\
&=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\
&=\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\
&=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k}(1-p)^{n-k} \\
&=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k} \\
&=n p \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1) !}{(k-1) !(n-k) !} p^{k-1} q^{\frac{(\mathrm{n}-1)-(\mathrm{k}-1)}{}=(n-k)} \\
&=n p
\end{align}
\]
- 第1到第3行应该很好理解，不过需要注意的是第3行的下标从 \(k=1\)开始了，因为\(k=0\)时值为0所以省略了。
- 第4行：把排列组合展开了
- 第5行：令\(q=1-p\)
- 第6行：这是整个推导过程magic所在。为更加方便理解，对于式(6)右边那一坨 \(\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\)，我们可以做一下换元，即令\(z=k-1,m=n-1\)，注意原式的k取值范围是\(k\in[1,n]\),那么z的取值范围应该就是\(z\in[0,n-1]\)，所以换元后式(6)变形得到\(\sum_{z=0}^{m}\frac{m!}{z!(m-z)!}p^zq^{m-z}\),这就是二项分布概率累加，其结果为1。
二项分布方差
\(D(X)=E[X-EX]^2=E[X^2-2XEX+(EX^2)]\)
注意\(EX\)可视为一个常数，所以\(E[2XEX]=2EX E[X]=2(EX)^2\)，同理\(E[(EX)^2]=(EX)^2\)，综上 \(D(X)=EX^2-(EX)^2\)
下面我们只需要在计算\(EX^2\)即可，推导过程如下：
\[\begin{align}
E\left(k^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2} p(k) \\
&=\sum_{k=1}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\
&=\sum_{k=1}^{n}[\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)+\mathrm{k}]\left(\begin{array}{c}
n \\
k
\end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\
&=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{c}
n \\
k
\end{array}\right) p^{k} q^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{c}
n \\
k
\end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\
&=\sum_{k=1}^{n} k(k-1) \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k}+n p \\
&=n(n-1) p^{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-2) !}{(k-2) !(n-k) !} p^{k-2} q^{(n-2)-(k-2)}+n p \\
&=n(n-1) p^{2}+n p
\end{align}
\]
所以\(DX=EX^2-(EX)^2=n(n-1) p^{2}+np-(np)^2=np(1-p)\)
