二项分布期望和方差推导

若随机变量 $X$ 服从二项分布,即 $X\sim B(n,p)$ ，则有 $P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ ，其均值和方差分别是
$E(X)=np$
$D(X)=np(1-p)$

之前学二项分布的时候看到它的期望和方差觉得形式很简单，就没怎么细看推导过程。但是自己去推导的时候发现也没那么简单。。。本文做个总结

二项分布期望

整个推导过程如下

\begin{aligned} (1) & E (k) & = \sum_{k = 0}^{n} k p (k) \\ (2) & = \sum_{k = 0}^{n} k (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ (3) & = \sum_{k = 1}^{n} k (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ (4) & = \sum_{k = 1}^{n} k \frac{n!}{k! (n - k)!} p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ (5) & = \sum_{k = 1}^{n} k \frac{n!}{k! (n - k)!} p^{k} q^{n - k} \\ (6) & = n p \sum_{k = 1}^{n} \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} p^{k - 1} q^{\frac{(n - 1) - (k - 1)}{} = (n - k)} \\ (7) & = n p \end{aligned}

$\begin{align} E(k) &=\sum_{k=0}^{n} k p(k) \\ &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k} \\ &=n p \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1) !}{(k-1) !(n-k) !} p^{k-1} q^{\frac{(\mathrm{n}-1)-(\mathrm{k}-1)}{}=(n-k)} \\ &=n p \end{align}$

第1到第3行应该很好理解，不过需要注意的是第3行的下标从 $k=1$ 开始了，因为 $k=0$ 时值为0所以省略了。
第4行：把排列组合展开了
第5行：令 $q=1-p$
第6行：这是整个推导过程magic所在。为更加方便理解，对于式(6)右边那一坨 $\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}$ ，我们可以做一下换元，即令 $z=k-1,m=n-1$ ，注意原式的k取值范围是 $k\in[1,n]$ ,那么z的取值范围应该就是 $z\in[0,n-1]$ ，所以换元后式(6)变形得到 $\sum_{z=0}^{m}\frac{m!}{z!(m-z)!}p^zq^{m-z}$ ,这就是二项分布概率累加，其结果为1。

二项分布方差

$D(X)=E[X-EX]^2=E[X^2-2XEX+(EX^2)]$

注意 $EX$ 可视为一个常数，所以 $E[2XEX]=2EX E[X]=2(EX)^2$ ，同理 $E[(EX)^2]=(EX)^2$ ，综上 $D(X)=EX^2-(EX)^2$

下面我们只需要在计算 $EX^2$ 即可，推导过程如下：

\begin{aligned} (8) & E (k^{2}) & = \sum_{k = 0}^{n} k^{2} p (k) \\ (9) & = \sum_{k = 1}^{n} k^{2} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) p^{k} q^{n - k} \\ (10) & = \sum_{k = 1}^{n} [k (k - 1) + k] (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) p^{k} q^{n - k} \\ (11) & = \sum_{k = 1}^{n} k (k - 1) (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) p^{k} q^{n - k} + \sum_{k = 1}^{n} k (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) p^{k} q^{n - k} \\ (12) & = \sum_{k = 1}^{n} k (k - 1) \frac{n!}{k! (n - k)!} p^{k} q^{n - k} + n p \\ (13) & = n (n - 1) p^{2} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(n - 2)!}{(k - 2)! (n - k)!} p^{k - 2} q^{(n - 2) - (k - 2)} + n p \\ (14) & = n (n - 1) p^{2} + n p \end{aligned}

$\begin{align} E\left(k^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2} p(k) \\ &=\sum_{k=1}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n}[\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)+\mathrm{k}]\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1) \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k}+n p \\ &=n(n-1) p^{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-2) !}{(k-2) !(n-k) !} p^{k-2} q^{(n-2)-(k-2)}+n p \\ &=n(n-1) p^{2}+n p \end{align}$

所以 $DX=EX^2-(EX)^2=n(n-1) p^{2}+np-(np)^2=np(1-p)$