小波变换笔记

http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart1.html

引言之 时频信息的需求

Although FT is probably the most popular transform being used (especially in electrical engineering), it is not the only one. There are many other transforms that are used quite often by engineers and mathematicians. Hilbert transform, short-time Fourier transform (more about this later), Wigner distributions, the Radon Transform, and of course our featured transformation , the wavelet transform, constitute only a small portion of a huge list of transforms that are available at engineer's and mathematician's disposal. Every transformation technique has its own area of application, with advantages and disadvantages, and the wavelet transform (WT) is no exception.
FT最流行，还有Hilbert transform, short-time Fourier transform, Wigner distributions, the Radon Transform,

For a better understanding of the need for the WT let's look at the FT more closely. FT (as well as WT) is a reversible transform, that is, it allows to go back and forward between the raw and processed (transformed) signals. However, only either of them is available at any given time. That is, no frequency information is available in the time-domain signal, and no time information is available in the Fourier transformed signal. The natural question that comes to mind is that is it necessary to have both the time and the frequency information at the same time?
FT是一个可逆变换，但是在时域不能得到频率信息，在频域又没有时域信息，能否同时得到时频域的信息呢？

对于平稳信号，如果只有一个频率成分，那没关系，但是如果有多个频率成分，那么频谱就有可能和某些非平稳信号一样了
x(t)=cos(2pi10t)+cos(2pi25t)+cos(2pi50t)+cos(2pi100t)
is a stationary signal, because it has frequencies of 10, 25, 50, and 100 Hz at any given time instant.

Let's look at another example. Figure 1.8 plots a signal with four different frequency components at four different time intervals, hence a non-stationary signal. The interval 0 to 300 ms has a 100 Hz sinusoid, the interval 300 to 600 ms has a 50 Hz sinusoid, the interval 600 to 800 ms has a 25 Hz sinusoid, and finally the interval 800 to 1000 ms has a 10 Hz sinusoid.
上面这俩的频谱就有可能混淆

Once again please note that, the FT gives what frequency components (spectral components) exist in the signal. Nothing more, nothing less.
仅仅给出了存在哪些频率成分

引言之解决方案

The Wavelet transform is a transform of this type. It provides the time-frequency representation. (There are other transforms which give this information too, such as short time Fourier transform, Wigner distributions, etc.)
小波，短时傅立叶，wigner分布等都能提供时频表示

Often times a particular spectral component occurring at any instant can be of particular interest.
只对某一瞬间的的频谱成分感兴趣

关于不确定性原理，维基上这么解释
http://zh.wikipedia.org/wiki/不确定性原理

能量-时间不确定性原理
除了位置-动量不确定性关系式以外，最重要的应属能量与时间之间的不确定性关系式无疑。能量-时间不确定性关系式并不是罗伯森-薛定谔关系式的明显后果。但是，在狭义相对论里，四维动量是由能量与动量组成，而四维坐标是由时间与位置组成，因此，很多早期的量子力学先驱认为能量-时间不确定性关系式成立：[1][18]\(\Delta E \Delta t \gtrapprox \frac{\hbar}{2}\)
列夫·朗道曾经开玩笑说：“违反能量-时间不确定性很容易，我只需很精确地测量能量，然后紧盯着我的手表就行了！”[27] 尽管如此，爱因斯坦和玻尔很明白这关系式的启发性意义：一个只能暂时存在的量子态，不能拥有明确的能量；为了要拥有明确的能量，必须很准确地测量量子态的频率，这连带地要求量子态持续很多周期。[27]

注意时间间隔\(\Delta t\)是系统维持大致不变、不受到扰动的时间间隔；而不是实验仪器开启关闭的测量时间间隔。

关于能量
http://zh.wikipedia.org/wiki/谱密度

能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。如果 f(t) 是一个有限能量信号，即平方可积，那么信号的谱密度 \(\Phi(\omega)\) 就是信号连续傅里叶变换幅度的平方。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
$P = s(t)^2\ $.
由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。幸运的是维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。

不确定性原理的前世今生 · 数学篇（二） http://imaginary.farmostwood.net/553.html

有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢？换句话说，存不存在一个函数，它在空间上只分布在很少的几个区域内，并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢？
答案是不存在。这就是所谓的 uncertainty principle（不确定性原理）。
这一事实有极为重要的内涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直观：大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起，看起来并没有什么道理啊。
这个原理可以被尽量直观地解释如下：所谓的频率，本质上反应的是一种长期的全局的趋势，所以任何一个单一的频率，一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。反过来，任何只在很少一块时空的局部里存在的信号，都存在很多种不同的长期发展的可能性，从而无法精确推断其频率。
让我们仍然用音乐来作例子。声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内，譬如一个声音只延续了一刹那。声音也可以只具有极单一的频率，譬如一个音叉发出的声音（如果你拿起手边的固定电话，里面的拨号音就是一个 440Hz 的纯音加上一个 350Hz 的纯音，相当于音乐中的 A-F 和弦）。但是不确定性原理告诉我们，这两件事情不能同时成立，一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。当声音区间短促到一定程度的时候，频率就变得不确定了，而频率纯粹的声音，在时间上延续的区间就不能太短。因此，说「某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音」是没有意义的。
这看起来像是一个技术性的困难，而它实际上反映出却是大自然的某种本质规律：任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。一种波动在频率上被我们辨认得越精确，在空间中的位置就显得越模糊，反之亦然。
既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小，那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号，它们在某种意义上构成了信号的「原子」，它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率，而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。

不确定性原理的前世今生 · 数学篇（三）http://imaginary.farmostwood.net/557.html

不确定性原理事实上不是一个单独的定理，而是一组定理的统称。基本上，凡是刻划一个信号不能在时空域和频域上同时过于集中的命题都可以称为不确定性原理，由于这里「集中」这一性质可以有不同的数学描述，也就对应着不同的数学定理。但是在所有冠以「不确定性原理」之名的定理中，最著名的当然是海森堡 (W. Heisenberg) 在 1927 年所提出的影响物理学发展至深的那个版本。它精确的数学描述是：
假定一个信号的总能量为 1，则这个信号和它的傅立叶变换的能量的方差之积不小于 \(\frac{1}{16\pi^2}\)
换言之，两者各自的能量都可能很集中，但是不能同时很集中。如果时空域中能量的方差很小（亦即集中在一起），那么频域上能量的方差就不会太小（亦即必然会弥散开），反之亦然。

好了，扯回来
The frequency and time information of a signal at some certain point in the time-frequency plane cannot be known. In other words: We cannot know what spectral component exists at any given time instant. The best we can do is to investigate what spectral components exist at any given interval of time. This is a problem of resolution, and it is the main reason why researchers have switched to WT from STFT. STFT gives a fixed resolution at all times, whereas WT gives a variable resolution as follows:
信号在时频平面的某个点的时频信息是未知的，也就是说我们不能知道在某个瞬间有多少频率成分，最多只能知道在某个时间区间有多少频率成分，即分辨率问题

f ^
|******************************************* continuous
|* * * * * * * * * * * * * * * wavelet transform
|* * * * * * *
|* * * *
|* *
--------------------------------------------> time

Interpret the above grid as follows: The top row shows that at
higher frequencies we have more samples corresponding to smaller
intervals of time. In other words, higher frequencies can be resolved
better in time. The bottom row however, corresponds to low
frequencies, and there are less number of points to characterize the
signal, therefore, low frequencies are not resolved well in time.