我的俄语数学笔记

这是我的俄语数学笔记。在这里共享给大家，不定期随老师上课进度更新一些内容。新单词在第一次出现的时候应该都标了重音。
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
转载请注明出处。

上次更新：2021年06月19日。

(??)符号表示这个地方不太确定。

更新Log：

2021.06.19：下午考试，祝我好运。

2021.06.04：新增复变。基本全部完结。

2021.05.06：新增数理统计。

2021.04.09：新增概率论。

2021.03.28：新增微分方程。

2021.03.21：新增级数、级数的审敛法则。充分必要条件。

2021.03.18：新增矢量场。

2021.03.02：我整理着发现许多数学符号的读音在维基上也有2333.

目录

基本的数 Элементарный

число - числа 数

цифра - цифры 数字

例如： цифры 1 и 0 обозначают число десять. 数字1和0组成了十.

целое число 整数

положительное число 正数

отрицательное число 负数

неотрицательное число 非负数

натуральное число 自然数 = 正整数（俄罗斯人是这样定义的）

рациональное число 有理数

противоположные числа 相反数

相等 равный

分数 Дробь

дробь 分数（阴性）

числитель 分子 знаменатель 分母

如果分子为1，则分母为阴性1格；如果分子大于1，则分母为复数2格。

例如：\(\frac{1}{2}\) 读作 одна вторая, \(\frac{2}{3}\) 读作 две третьих.

правильная дробь 真分数：числитель меньше знаменателя 分子小于分母

неправильная дробь 假分数

смешанная дробь 带分数

带字母的分数 \(\frac{x}{y}\)读作"икс делённое на игрек."

小数

десятичная (дробь) 小数，直译过来是十进制分数，这是由于他们的小数的阅读方式导致的。

例如：小数 “5.7" 在俄文中写作 "5,7" 。俄罗斯的小数点是逗号 (комма)。

​ 其中5为 целая часть（整数部分），7为 дробная часть（小数部分）。

​ 整体读作 пять целых семь десятых. 直译过来是整数五加十分之七

分子=1 分子>1
整数部分 целая целых
十分之 десятая десятых
百分之 сотая сотых
千分之 тысячная тысячных
万分之 десятитысячнная десятитысячнных

复数 Комплексное число

\(a+bi\) - комплексное число

i - мниная единица

俄文字母读音

俄文字母 读音
А а а
Б б бэ
В в вэ
Г г гэ
Д д дэ
Е е йэ
Ё ё йо
Ж ж жэ
З з зэ
И и и
Й й и краткое
К к ка
Л л эль
М м эм
Н н эн
О о о
П п пэ
Р р эр
С с эс
Т т тэ
У у у
Ф ф эф
Х х ха
Ц ц цэ
Ч ч че
Ш ш ша
Щ щ ща
Ъ ъ твёрдый знак
Ы ы ы
Ь ь мягкий знак
Э э э
Ю ю йу
Я я йa

拉丁字母和希腊字母 Латинская буква и Греческая буква

以下是从维基百科复制下来的拉丁字母（英文字母）及其对应俄语读音。俄语的英文字母的读法与英文不同，特别是w和y.

Латинская буква классическое русское название буквы
A a а
B b бэ
C c цэ
D d дэ
E e е/э
F f эф
G g гэ/жэ
H h аш/ха
I i и
J j йот/жи
K k ка
L l эль
M m эм
N n эн
O o о
P p пэ
Q q ку
R r эр
S s эс
T t тэ
U u у
V v вэ
W w дубль-вэ
X x икс
Y y игрек/ипсилон
Z z зет

以下是从维基百科 复制下来的希腊字母及其对应俄语读音。注意俄语中π读作“屁”，φ读作фи.

Греческая буква русское название буквы
Α α альфа
Β β бета (вита)
Γ γ гамма
Δ δ дельта
Ε ε эпсилон
Ζ ζ дзета (зита)
Η η эта (ита)
Θ θ тета (фита)
Ι ι йота
Κ κ каппа
Λ λ лямбда (лямда)
Μ μ мю (ми)
Ν ν ню (ни)
Ξ ξ кси
Ο ο омикрон
Π π пи
Ρ ρ ро
Σ σ ς сигма
Τ τ тау (тав)
Υ υ ипсилон
Φ φ фи
Χ χ хи
Ψ ψ пси
Ω ω омега

其它读音 Другие произношения

自然常数e读作俄语е

虚数单位i读作俄语ии

三角函数 Тригонометрические функции

符号 俄文读法
\(sin\) синус
\(cos\) косинус
\(tan\) 俄文中写作 \(tg\) тангенс
\(cot\) котангенс
\(arcsin\) арксинус
\(arccos\) арккосинус
\(arctan\) 俄文中写作 \(arctg\) арктангенс

基本符号 Знаки

等于=

= равно

x, y, z = ? 的时候，= 读作 равен ; 其他字母 = ？的时候，= 读作 равно

1 + 1 = 2 这种式子的时候，= 读作 равно

大于小于><

符号 俄文 读法举例
> больше, чем 2 > 3: два больше, чем три
< меньше, чем 2 < 3: два меньше, чем три

特殊情况： > 0 可以读作 больше нуля. < 0 可以读作 меньше нуля.

加减乘除

пишем 写法 читаем 读法 знак 符号 результат 结果 компоненты 组分 действие 运算
m + n эм плюс эн плюс сумма 和 слагаемое 加数 сложение 加法
m - n эм минус эн минус разность 差 m - уменьшаемое 被减数
n - вычитаемое 减数		 вычитание 减法
m · n эм умножить на эн точка произведение 积 множитель 乘数 умножение 乘法
m : n эм разделить на эн две точки частное 商 m - делимое 被除数
n - делитель 除数		 деление 除法

能整除 делиться：比如 10 делится на 2.

乘方运算 Степень

\(a^n\) - степень , 其中 a 称为 основание степени , n 称为 показатель степени

\(a^2\) 读作 а квадрат 或 а в квадрате.

\(a^3\) 读作 а куб 或 а в кубе. （一般数学老师喜欢读前面那个，比较简单）

其他次方可以这样读: а в степени n . 如 \(2^4\) 读作 два в степени четыре

开方运算 Корень

\(\sqrt[n]{a}\) 中，根号\(\sqrt{}\) 读作 знак корня, 被开方数 a 称为 подкоренное выражение, 开方数 n 称为 показатель корня.

\(\sqrt{a}\) 读作 корень квадратный из а

\(\sqrt[3]{a}\) 读作 корень кубический из а

\(\sqrt[4]{a}\) 读作 корень четвёртой из а

\(\sqrt[5]{a}\) 读作 корень пятой из а

\(\sqrt[n]{a}\) 读作 корень энной из а

\(\sqrt[n+1]{a}\) 读作 корень эн плюс единица из а

绝对值 Модуль

$\vert x \vert $ 读作 икс по модулю

坐标与向量

由于俄文中小数点为逗号，所以坐标和向量的逗号用分号代替。

координат 坐标，比如 \(M(3;4)\)

вектор 向量，比如 \(\vec{AB} = \left\{{3;4} \right\}\)

集合与区间 Множество и интервал

\(x∈R\) 读作 Икс принадлежит эр

\(\notin\) 读作 не принадлежит

集合 множество

集合的元素 элемент множества

\(A\cup B\) 称为 объединение множеств А и В.

\(A\cap B\) 称为 пересечение множеств А и В.

\(\empty\) 称为 пустое множество

区间 интервал

\(x\in (-\infin;1)\) 读作 Икс принадлежит интервал от минус бесконечность до один

\((-\infin;1)\cup(1;+\infin)\) 中的 \(\cup\) 读作 знак объединения. (??)

量词 Квантор

符号 俄文读法 含义 中文
квантор Квантор - это логический оператор 量词
\(\exist\) существует квантор существования 存在
\(\bar{\exist}\) не существует 不存在
\(\forall\) «Для любых», «Для всех», «Для всякого» квантор всеобщности 任意

充分必要 Достаточное и необходимое

\(A\implies B\)读作Если A, то B. 并说 A - это достаточное условие для B.

достаточное условие 充分条件 (或 достаточный признак)

необходимое условие 必要条件

необходимое и достаточное условие 充要条件

推导与证明

解题 Для решения

俄文 中文 用法
Дан/Даны 给出了…… 题干里出现
Найти 请求出…… 题干里出现
Решение: 解：
Ответ: 答：
Замечания. 结束（中文里一般不写，相当于知乎的“以上”）
Пусть 或 Полагаем 设，令
то 那么
т.е. = то есть 即，即为
т.к. = так как 因为
получаем 得到
если 如果
следовательно 那么
Отсюда 由此可得（一般用于化简某个式子）
, что то же самое, 同样地
но 但是
или 或
и 和
данный 给定的
вид 形式 ... , уравнение прямой будет иметь вид $ y=kx $ 意思是如果……，那么直线方程将会有 \(y=kx\) 这种形式
тогда ..., ... 当...时，有... 主要用于描述概念
тогда 这时，... 这个跟上面不一样。比如 Пусть y=uv. Тогда \(u'v+uv'=0\) 。Тогда就用于表示代入后的结果是什么。
тогда и только тогда 当且仅当
обозначается 记为
Находим 求…… Находим \(\vec{a}\times \vec{b}:\)
\(\vec{a}\times \vec{b}=...\)
откуда следует 由此可知
где 此处（并不是指定义域） \(\frac{1}{a-b}\) , где $a\neq b $
выполним преобразования: 化简式子如下：
предполагаем, что 假设……
Очевидно, что 显然
Полагая 令，认为 Полагая \(a=b=1\)
запишем 写下
подставим 代入 подставим значение \(\lambda=\lambda_1=1\) в однородную систему уравнений ...
вычислим 算出
выполнено 条件满足（此处是完成体过去时形动词短尾） необходимое условие сходимости не выполнено 收敛的必要条件不满足，……
удовлетворяет 满足(+3格) эта функция удовлетворяет условиям Дирихле. 这个函数满足狄利克雷条件。
пропорционально 成正比
противаречит +5格 与……矛盾

非解题 Для написания

俄文 中文 用法
называется 称为（一种定义方法） +5格，一般不出现公式
ххх - это ххх. （一种定义方法） 均为1格，一般不出现公式
... , обратное неверно. 反之不成立
Имеем: 有……
... определяется по формуле: ……的值由下式决定：
Полученную формулу можно записать короче: 得到的公式可以写成更简短的形式:
Итак, ... 这样一来
вообще 一般来说
не обращается в нуль 或 отличен от нуля 不为0
Определение. 定义：
Теорема. 定理：
приложение 应用 ……的实际应用
согласно 根据…… согласно формуле (3.2.1) 表示根据公式(3.2.1),
понятие 概念
приводит к 引出
выносить за +4格 移出…… Константу можно выносить за знак интеграла 常量可以移出积分号
связано с +5格 与……有联系
его можно записать в виде... 它能够被写为……形式 用于定义中
Теорема распространяется на (+4) 这个理论适用于……
единственный 唯一的

类别术语 Категория

俄文 中文
линейная алгебра 线性代数
аналитическая геометрия 解析几何
математический анализ 数学分析
теория вероятностей 概率论
математическая статистика 数理统计

工图工具 Чертёжные инструменты

（口语考试要考，就先在这整理一下）

俄文 中文
чертёж 图，图纸
черчение 制图
рейсшина 丁字尺
линейка 直尺
угольника 三角尺
карандаш 铅笔
резинка 橡皮
циркуль 圆规
измеритель 分规

举个例子: Обычно линии чертят с помощью рейсшины, карандаша и угольника. 通常划线要用丁字尺，铅笔和三角尺。

代数 Алгебра

基本术语

俄文 中文
уравнение 方程
выражение 表达式
формула 公式
теорема 定理
постоянная величина 常量
одночлен 单项式
многочлен 多项式
иррациональность 根式

公式 Формулы

俄文 中文 公式
формула квадрата суммы 完全平方公式（和的部分） $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
формула квадрата разности 完全平方公式（差的部分） $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
формула разности квадратов 平方差公式 $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
формула куба суммы 完全立方公式（和的部分） $ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
формула куба разности 完全立方公式（差的部分） $ (a − b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
формула суммы кубов 立方和公式 $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2 )$
формула разности кубов 立方差公式 $ a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2 )$
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

其他

俄文 中文 注释
сопряжённое 有理化 сопряжённое к \(\sqrt{x}+3\) 即为将其乘以 \(\sqrt{x}-3\)
алгебраическая сумма 代数和
раскладываем знаменатель на линейные шнохители 分数的因式分解 \(\frac{1}{x^{2}+4x+3}=\frac{1}{(x+1)(x+3)}\)

几何 Геометрия

点和线 Точка и Линия

俄文 中文
точка = т. 点
линия - линии 线
прямая (линия) 直线
луч 射线 (用 на луче表示在射线上)
отрезок 线段
длина 长度

线的属性和关系 Линии

俄文 中文
горизонтальная прямая линия 水平的线
вертикальная прямая линия 竖直的线
наклонная прямая линия 斜线
пересекающиеся прямые линии 相交线
точка пересечения 交点
перпендикулярные прямые линии 互相垂直的线
параллельные прямые линии 互相平行的线

角 Угол

俄文 中文
угол - углы 角
острый угол 锐角 \(0<\alpha<90^{\circ}\)
прямой угол 直角 \(=90^{\circ}\)
тупой угол 钝角 \(90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

度数的读法 Градус

1 结尾，“度”读为 градус

2, 3, 4 结尾，“度”读为 градуса

5 - 20 结尾，“度”读为 градусов

几何图形

几何元素

俄文 中文 用法
вершина 顶点
сторона - стороны 边
угол - углы 角 угол между ребрами AB и AC 表示由棱AB和AC夹成的角
三角形中，可以用 угол при вершине В 表示角B
ребро-рёбра 棱
грань 棱面
длина 长度
площадь 面积
объём 体积
периметр 周长

平面几何图形

俄文 中文 一些描述
фигура 平面的图形
круг 圆
многоугольник 多边形
n-угольник n边形 对于n过大的情况，可以用 1格数字-угольник 表示，比如 тринадцать-угольник
треугольник 三角形
прямоугольный треугольник 直角三角形
равнобедренный треугольник 等腰三角形
равносторонний треугольник 等边三角形
четырёхугольник 四边形
параллелограмм 平行四边形
квадрат 正方形 У квадрата равны/ одиннаковые все стороны.
прямоугольник 长方形 У прямоугольника попарно равны противоположные стороны.(a=c;b=d)
У прямоугольника все углы прямые.
ромб 菱形
трапеция 梯形
равнобедренная трапеция 等腰梯形 Если у трапеции равны боковые стороны - это равнобедренная трапеция
прямоугольная трапеция 直角梯形

三角形 Треугольник

俄文 中文 用法
угол 角 угол при вершине В 角B
длина стороны 边长 длина стороны АВ 边AB的长
высота 高 высота, опущенной из вершины С 从顶点C引出的高
медиана 中线 медиана, опущенной из вершины А 从顶点A引出的中线

四边形 Четырёхугольник

俄文 中文 用法
диагональ 对角线

立体几何图形

俄文 中文
пирамида 棱锥
призма 棱柱
сфера 球

线性代数 Линейная Алгебра

向量 Вектор

俄文 中文 用法
скалярный 标量的 Скалярная величина 标量
скаляр 标量
вектор 向量 定义：направленный отрезок 有向线段
длина вектора 或 модуль вектора 向量的模
нулевой 零向量
орт 或 единичный вектор 单位向量
нормируем его 归一化
равные векторы 相同的向量
противоположные векторы 相反向量
коллинеарный 共线的
компланарный 共面的
Линейные операции над векторами 向量的线性操作 包括向量之间的加减、向量乘标量及其混合运算
правил треугольника 三角形法则
правил параллелограмма 平行四边形法则
проекция вектора на ось 向量在轴上的投影
скалярное произведение векторов 向量点乘
векторное произведение векторов 向量叉乘
угол между векторами 向量夹角
Смешанное произведение векторов 混合积
нормальный вектор плоскости 平面的法向量

矩阵 Матрица

俄文 中文 用法
матрица - матрицы 矩阵
строка - строки 行 m
столбец - столбцы 列 n
размерность 维度 Размерность матрицы \(m×n\) или \((m,n)\) 读作m на n
одинаковые размеры 相同的大小 （可以相加）
индекс 索引 Первый индекс элемента матрицы обозначает номер строки, второй – номер столбца.
квадратная матрица 方阵
квадратная матрица второго порядка 二阶方阵 Например, \(\begin{pmatrix} 9 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)
квадратная матрица n–го порядка n阶方阵
матрица-столбец 或 вектор-столбец 列向量
матрица-строка 或 вектор-строка 行向量
нулевая матрица 零矩阵 Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.
главная диагональ матрицы 矩阵的主对角线
диагональная матрица 对角矩阵
верхняя треугольная матрица 上三角矩阵
нижняя треугольная матрица 下三角矩阵
единичная матрица 单位矩阵 用\(E\)表示
транспонированной к матрице \(A=(a_{ij})\) A的转置矩阵 用\(A^T\)表示
транспонировать 转置
определитель 行列式 可表示为\(det(A)\)或\(\vert A \vert\)或\(\Delta A\)
минор к элементу \(a_{ij}\) \(a_{ij}\)的余子式\(M_{ij}\) \(M_{ij}\)
Алгебраическое дополнение \(A_{ij}\) к элементу \(a_{ij}\) квадратной матрицы \(A\) \(a_{ij}\)的代数余子式\(A_{ij}\) \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
алгебраическое дополнение элемента 对\(A_{ij}\)来说，\(a_{ij}\)即为该定义。
чётное место 对\(a_{ij}\)，若 \(i+j\)为偶数，则称элемент \(a_{ij}\) занимает чётное место，若为奇数，则称элемент \(a_{ij}\) занимает нечётное место
вырожденная 奇异的 矩阵的行列式为0
невырожденная 非奇异的
обратная матрица 逆矩阵 \(A^{-1}\)
присоединённая матрица 伴随矩阵 \(A^*\) 或 \(adj\ A\)
обратная матрица 逆矩阵
ранг матрицы 秩
след матрицы 迹
системы линейных уравнений 线性方程组
расширенная матрица 增广矩阵 \(A_p\)
совместная 有解
несовместная 无解
имеет единственное решение 或 определённая 有唯一解
имеет одно решение 有一个解
имеет бесконечно много решений 或 неопределённая 有无穷多个解
не имеет решения 无解
однородная система уравнений 齐次线性方程组 Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}\)

Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :

\(Ax=b\), где

\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}\)

该方程组的系数矩阵称为матрица системы或 главная матрица, 记为\(A\)

\(x\)为матрица-столбец неизвестных，\(b\)为матрица-столбец свободных членов.

расширенная матрица 是增广矩阵。

该线性方程组的有以下解法：

  1. матричным методом：矩阵法。求出逆矩阵，直接乘\(b\)得到的向量即为结果

  2. помощью формул Крамера：克莱姆法则。把增广矩阵去除某个未知数的一列，再求其行列式，除以系数矩阵行列式即为该未知数的值。

  3. методом Гаусса：高斯消元法。懂得都懂。

一次型 Линейная Форма

\(L(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n\)

其中\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)至少有一个不为0

可写成 \(L(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=A·x\)

二次型 Квадратичная Форма

\(Q(x_1,x_2)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}x_1x_2\)

其中a的数量为\(C_n^2\)

可写成\(Q(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=x^T·A·x\)

其中\(A=\pmatrix{a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{nn}};x=\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3\\...\\x_n}\)

俄文 中文
положительно определённая 正定的
отрицательно определённая 负定的
собственные значения 特征值
собственные векторы 特征向量
канонический вид 标准型

二次型可以用来判定二次曲线的形状，如下

\(Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\)

\(\delta=\begin{vmatrix}A & B \\ B & C \end{vmatrix};\Delta=\begin{vmatrix}A & B& D \\ B & C &E \\ D&E&F\end{vmatrix}\)

то,

\(\Delta\ne0\) \(\Delta= 0\)
\(\delta>0\) Окружность или эллипс \(\bigcirc\) точка \(\cdot\)
\(\delta<0\) Гипербола \(\supset \subset\) пересекающиеся прямые линии \(\times\)
\(\delta=0\) Парабола \(\cup\) параллельные прямые линии \(//\)

二次曲线转标准型是我们常考的题，具体例题可以看这里。

解析几何 Аналитическая Геометрия

坐标系

俄文 中文
система координат = СК 坐标系
координатая прямая 坐标轴
координатая плоскость 坐标平面
прямоугольная система координат
= декартова система координат = ДСК		 直角坐标系
= 笛卡尔坐标系
полярная система координат = ПСК 极坐标系
цилиндрическая система координат = ЦСК 圆柱坐标系
сферическая система координат = ССК 球坐标系
ось абсцисс x轴
ось ординат y轴
ось аппликат z轴

推导与证明

俄文 中文 用法
лежит на 在什么上 точка B лежит на луче OC 点B在射线OC上
принадлежит 属于 Так как точка \(M_1(x_1;y_1)\) принадлежит прямой L, то \(Ax_1+By_1+C=0\)
через 通过，穿过(+4格) 描述直线穿过点，描述通过某种方法
ось Ох – прямая, проходящая через т. F 表示x轴是穿过点F的直线
пересекать 交于某点 Эллипс пересекает ось Ох в точках \(A_1(-a;0),A_2(a;0)\).
перейдём ... 坐标系变换 перейдём от ПСК к ДСК, есть:
\(\left\{\begin{aligned}r=\sqrt{x^2+y^2} \\tg \phi=\frac{y}{x} \end{aligned}\right.\)

平面解析几何 Аналитическая геометрия на плоскости

平面直角坐标系的组成

俄文 中文
прямоугольная система координат на плоскости 平面直角坐标系
горизонтальная ось 或 ось абсцисс 横轴
вертикальная ось 或 ось ординат 纵轴
начало координат 原点
единица длины 单位长度

平面极坐标系的组成

俄文 中文
полярная система координат 极坐标系
полярная ось 极轴
полюс 极点

对于点 \(M(\rho;\phi)\) ， ρ - полярный радиус 极径; φ – полярный угол 极角

直线

俄文 中文 定义
общее уравнение прямой 直线的一般方程 \(Ax+By+C=0\)
уравнение прямой с угловым коэффициентом 直线的斜截式方程 \(y=kx+b\)
угловой коэффициент 斜率 \(k\)
уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении 直线的点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0) $
уравнение прямой, проходящей через две точки 直线的两点式方程 \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
уравнение прямой в отрезках 直线的截距式方程 \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
расстояние от точки до прямой 点到直线距离
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

二次曲线 Кривые второго порядка

俄文 中文 定义
кривые второго порядка 二次曲线
окружность 圆
эллипс 椭圆
гипербола 双曲线
парабола 抛物线
общее уравнение второй степени 二次曲线的一般方程 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

圆 Окружность

俄文 中文 定义
центр окружности 圆心
радиус 半径 \(R\)

椭圆 Эллипс

俄文 中文 定义
фокус 焦点 \(F_1,F_2\)
фокусное расстояние 焦距 \(F_1F_2=2c, c<a\)
фокальные радиусы 焦半径 \(F_1M,F_2M\)
каноническое уравнение эллипса 椭圆的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
вершины по оси Ох 左右顶点 \(A_1(-a;0),A_2(a;0)\)
вершины по оси Оу 上下顶点 \(B_1(0;-b),B_2(0;b)\)
полуось 半轴
большая полуось эллипса 长半轴 \(a\)
малая полуось эллипса 短半轴 \(b\)
эксцентриситет 离心率 \(\varepsilon = \frac{c}{a}\)
директриса эллипса 准线 \(x=\pm\frac{a}{\varepsilon}\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

双曲线 Гипербола

俄文 中文 定义
фокус 焦点 \(F_1,F_2\)
фокусное расстояние 焦距 \(F_1F_2=2c, c>a\)
фокальные радиусы 焦半径 \(F_1M,F_2M\)
каноническое уравнение гиперболы 双曲线的标准方程 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
действительные вершины гиперболы 实轴顶点 \(A_1(-a;0),A_2(a;0)\)
мнимые вершины гиперболы 虚轴顶点 \(B_1(0;-b),B_2(0;b)\)
действительная ось 实轴 \(A_1A_2=2a\)
мнимая ось 虚轴 \(B_1B_2=2b\)
асимптоты 渐近线 \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
эксцентриситет 离心率 \(\varepsilon = \frac{c}{a}\)
директриса эллипса 准线 \(x=\pm\frac{a}{\varepsilon}\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

抛物线 Парабола

俄文 中文 定义
каноническое уравнение параболы 抛物线的标准方程 \(y^2=2px\)
фокус 焦点 \(F(\frac{p}{2};0)\)
директриса 准线 \(x=-\frac{p}{2}\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

立体解析几何 Аналитическая геометрия в пространстве

平面 Плоскость

俄文 中文 定义
поверхность 面（阴性）
плоскость 平面（阴性）
нормальный вектор 法向量
уравнение связки плоскостей 平面的点法式方程 \(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
общее уравнение плоскости 平面的一般方程 \(Ax+By+Cz+D=0\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

直线 Прямой

俄文 中文 定义
прямой в пространстве 空间直线
параметрическое уравнение прямой в пространстве 空间直线的参数方程 \(\begin{cases} x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt \end{cases}\)
каноническое уравнение прямой в пространстве 空间直线的对称式方程 \(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

二次曲面 Поверхности второго порядка

俄文 中文 定义
цилиндрическая поверхность 柱面
эллиптический цилиндр 椭圆柱面 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1\)
параболический цилиндр 抛物柱面 \(x^2=2pz\)
эллипсоид 椭球 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2}=1\)
сфера 球 \(x^2+y^2+z^2=R^2\)
однополостный гиперболоид 单叶双曲面 \(\frac{𝑥^2}{𝑎^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
двуполостный гиперболоид 双叶双曲面 \(-\frac{𝑥^2}{𝑎^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
эллиптический параболоид 椭圆抛物面 \(\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z\)
гиперболический параболоид 双曲抛物面（马鞍面） \(z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) 或\(z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}\)
коническая поверхность 或 конус 圆锥 \(\frac{𝑥^2}{𝑎^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\)
вершина 圆锥的顶点
образующая 圆锥的母线
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

数学分析 Математический Анализ

数学分析的黑话为 матан

函数 Функция

函数的基本性质 Основные Характеристики Функций

俄文 中文 定义
функция-функции 函数 \(y=f(x)\) , у называют функцией от х. х – независимая переменная величина или аргумент, y – функция или зависимая переменная.
промежуток 或 интервал 区间 \(y=f(x)\) определена в промежутке \((a;b)\) 函数f(x) 定义在区间(a,b)上或用 на интервале
Переменная величина 变量
постоянная величина 或 константа 常量
область определения функции 定义域 \(D(f)\) 或 ОДЗ 或 Х
множество значений функции 值域 \(E(f)\)
способ задания функции 函数的表示方法 Аналитический способ 解析法，Графический способ 图像法，Табличный способ 表格法。
奇偶性 чётная функция 偶函数，нечётная функция 奇函数, не чётная и не нечётная 非奇非偶
монотонность 单调性 интервал монотонности 单调区间
возрастающая 严格单调增加 Если для любой пары значений \(x_{1},x_{2}\in (a;b)\) из неравенства \(x_{1}<x_{2}\) следует неравенство \(f(x_{1})<f(x_{2})\), то функция называется возрастающей на данном промежутке.
неубывающая 单调增加 这个词的俄语意思是“非减的”
убывающая 严格单调减少
невозрастающая 单调减少 这个词的俄语意思是“非增的”
точка экстремума 极值点 максимум 极大值，минимум极小值。注意区分наибольшее значение 最大值和 наименьшее значение 最小值
экстремум 极值
ограниченная 有界的
периодичность 周期性 периодическая 周期的
период функции 函数的周期T
выпуклая 凸的 интервал выпуклости 凸区间
вогнутая 凹的 интервал вогнутости 凹区间
точка перегиба 拐点
обратная функция 反函数 Для функции \(y=2x\) , обратной функцией является \(x=\frac{1}{2}y\).

基本初等函数 Основные элементарные функции

俄文 中文 定义
показательная 指数的 \(y=a^{x},a>0,a\neq1\)
логарифмическая функция 对数函数 \(y=log_{a}x,a>0,a\neq 1\)
степенная функция 幂函数 \(y=x^{\alpha},\alpha \in R\)
тригонометрические функции 三角函数 sin, cos, tan 等函数
обратные тригонометрические функции 反三角函数 arcsin, arccos, arctan等函数

极限 Предел функции

числовая последовательность 数列

Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

定理：任意单调有界数列存在极限。

\(x\to x_{0}\) 读作 Икс стремится к икс нулевой

\(\lim\limits_{x\to x_{0} } f(x)\) 读作 предел функций эф от икс

\(\lim\limits_{x\to 2 } x+1 = 3\) 读作 предел икс плюс один при икс стремится двух равен три

бесконечно 的 ч 读作 ч

бесконечность 无穷大，无穷的符号

俄文 中文 定义
неопределённость 不定型 如 \(\frac{0}{0}\) (读作 нуль на нуль) . \(\frac{\infin}{\infin}\) (读作 бесконечность на бесконечность)
правило Лопиталя 洛必达法则

无穷小和无穷大 бесконечно малая (б.м.), бесконечно большая

Функция называется бесконечно малой при \(x\to x_{0}\) , если $\lim\limits_{x\to x_{0} } f(x)=0 $.

无穷小通常用字母 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) 等表示。

Теорема 1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть так же бесконечно малая величина.

定理 1： 有限个无穷小的代数和仍是无穷小[1]。

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции \(\alpha(x)\) на ограниченную функцию \(f(x)\) при \(x\to x_{0}\) (или при \(x\to \infin\)) есть бесконечно малая функция.

定理 2：有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小[1]。

Теорема. Если функция \(f(x)\) является бесконечно большой при \(x\to a\) (или \(x\to \infin\)) и не обращается в нуль , то функция \(y=\frac{1}{f(x)}\) является бесконечно малой.

定理：（该定理不完全对应）在自变量的同一变化过程中，如果\(f(x)\) 为无穷大，则\(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷小；反之，如果\(f(x)\) 为无穷小且\(f(x)\neq 0\)，则\(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷大[1]。

第一类和第二类重要极限 Первый и второй замечательные пределы

  1. \(\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\) 可用于解带三角函数的极限

  2. \(\lim \limits_{x\to \infin} (1+\frac{1}{x})^x=e\) 可用于解$1^{\infin} $ 形式的极限

等价无穷小 Эквивалентные бесконечно малые

\(x \to 0:x\sim \sin x \sim e^{x}-1 \sim tgx \sim \arcsin x \sim \ln (x+1)\)

​ \(a^{x}-1 \sim x ·\ln a\)

关于用等价无穷小解题，俄文中有特殊的写法来表示该条件：

Пример: \(\lim \limits_{x\to 0} \frac{tg2x}{\sin 3x}=\begin{vmatrix} tg2x \sim 2x \\ \sin 3x \sim 3x \end{vmatrix}=\lim \limits_{x\to 0} \frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}\)

也可以加上 \(=[\frac{0}{0}]=\) 表示这是一个\(\frac{0}{0}\) 型极限。

多元函数 Функция несколбких переменных

俄文 中文 注释
Функция двух переменных 二元函数
область определения 定义域 \(D=D(f)\)
область изменения 值域 \(E(f)\)或\(E\)
граница области 区域边界
внутренняя 在区域外的（点）
открытая 开区域 区域边界要用虚线
замкнутая 闭区域 区域边界用实线。区域表示为\(\overline{D}\)
ограниченная область 有界区域
неограниченная область 无界区域

二元函数的极值 Экстремум функции двух переменных

必要条件 Необходимые условия экстремума: \(f'_{x}(x_{0};y_{0})=0, f'_{y}(x_{0};y_{0})=0\)

充分条件 Достаточное условие экстремума：\(A=f''_{xx}(x_{0};y_{0}),B=f''_{xy}(x_{0};y_{0}),C=f''_{yy}(x_{0};y_{0})\)

\(\Delta = \begin{vmatrix}A & B \\ B & C \end{vmatrix} = AC - B^{2}\)

  1. \(\Delta > 0\), 若\(A<0\), 则为极大值。若\(A>0\)，则为极小值；
  2. \(\Delta < 0\)，不是极值点；
  3. \(\Delta=0\) 不确定。

连续函数 Непрерывная

也可用副词 непрерывна连续

Определение 1. Функция \(y=f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. \(\lim \limits_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0})\).

定义1：设函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)的某一邻域内有定义。如果函数\(f(x)\)当\(x\to x_{0}\)时的极限存在且 \(\lim \limits_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)，则称函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处连续[1]。

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если бесконечно малому приращению аргумента в точке \(x_{0}\) соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. выполняется равенство\(\lim \limits_{\Delta x\to 0} \Delta y=0\).

定义2：设函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)的某一邻域内有定义。如果自变量x在\(x_{0}\)处的增量\(\Delta x=x-x_{0}\)趋于零时，对应的函数值的增量\(\Delta y=f(x+x_{0})-f(x_{0})\)也趋于零，即\(\lim \limits_{\Delta x\to 0} \Delta y=0\)，则称函数\(y=f(x)\)在点\(x_{0}\)处连续[1]。

间断点 Точка разрыва

разоыв в точке один.

俄文 中文 注释
точка разрыва первого рода 第一类间断点 左右极限均存在
точка устранимого разрыва 可去间断点 左右极限存在且相等
точка конечного разрыва 跳跃间断点 左右极限存在且不相等
точка разрыва второго рода 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在

第一类间断点точка разрыва первого рода：

左右极限均存在，则称称\(x_{0}\)为函数\(f(x)\)的第一类间断点

Точка разрыва \(x_{0}\) называется точкой разрыва первого рода функции \(y=f(x)\), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. \(\lim \limits_{x\to x_{0}-0} f(x)=A_{1},\lim \limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=A_{2}\) и . При этом:

а) если \(A_{1}=A_{2}\), то точка \(x_{0}\) называется точкой устранимого разрыва (可去间断点);
б) если \(A_{1} \neq A_{2}\) , то точка \(x_{0}\) называется точкой конечного разрыва (跳跃间断点).

Величину \(\vert A_{1}-A_{2} \vert\) называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

若左极限与右极限中至少有一个不存在，则称\(x_{0}\)为函数\(f(x)\)的第二类间断点[1] точка разрыва второго рода。

导数 Производная

\(y'\) 读作 игрек штрих

\(y''\) 读作 игрек два штриха 或 производная второго порядка

\(y^{(4)}=y^{IV}\) 读作 производная четвёртого порядка

\(f'(x)\) 读作 эф штрих от икс.

俄文 中文 注释
производная 导数 \(\frac{dy}{dx}\) 读作 Дэ игрек по дэ икс
Производной данной функции \(y=f(x)\) в точке \(x_{0}\) называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
приращения 增量
дифференцирование 求微分 后面加2格。比如 дифференцирование неявно заданной функции表示隐函数求微分
дифференцируемой 可微
Дифференциал 微分 dy
правило Лопиталя 洛必达法则
Касательная прямая 切线
асимптота 渐进线 вертикальная 垂直, наклонная倾斜 и горизонтальная水平渐近线
явная функция 显函数 也可以说функция задана в явном виде
неявно заданная 隐函数方式表示 如\(F(x;y)=0\)
параметрическим 用参数方程表示
логарифмическое дифференцирование 对数求导法 对等式两边同时取对数，再进行求导，能够简化求导过程

一些定理

俄文 中文
Формула конечных приращений 拉格朗日中值定理

偏导数 Частная производная

\(z'_{x}\) 读作 зет щтрих по икс

括号前面读个от即可

\(\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}\)读作 дэ лва зет по дэ икс дважды

俄文 中文
функция двух переменных 二元函数
независимая переменная (аргумент) 变量
зависимая переменная (функция) 函数值
область определения 二元函数定义域
область изменения 二元函数值域
функция нескольких переменных 多元函数
частная производная высших порядков 高阶偏导
сложная функция 复合函数
полный дифференциал 全微分
замкнутая область 闭区域

积分 интегрирование

\(F(x)\) 读作 эф большое от икс.

\(f(x)\) 可读作 эф малое от икс.

俄文 中文 定义
интегрирование 积分
интегрировать 求积分
знак определённого интеграла 积分号
неопределённый интеграл 不定积分 \(F(x)+C\) ----- это множество всех первообразных подынтегральной функции
первообразная 原函数 \(F(x)\) 读作 эф большое от икс.
подынтегральная функция 被积函数 \(f(x)\) 可读作 эф малое от икс.
подынтегральное выражение 被积表达式 \(f(x)dx\)
переменная интегрирования 积分变量 \(x\)
обозначение переменной интегрирования 积分的变量符号 Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. 定积分的结果不受积分变量的符号影响，即把x换成t，z都是可以的。
знак неопределённого интеграла 积分号 \(\int\)

积分方法 Основные методы интегрирования

  1. 直接积分法 Метод непосредственного интегрирования

  2. 换元积分法 Метод интегрирования подстановкой

    \(\int f(x)dx=\int f(\phi(t))\phi'(t)dt\) 称为 формула замены переменной 第一类换元积分公式

  3. 分部积分法 Метод интегрирования по частям

    \(\int udv=uv-\int vdu\)

有理分式积分 Интегрирование рациональных функций

\(f(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+b_2x^{m-2}+...+b_{m-1}x+b_m}\) 为有理分式，

若n<m，则称该有理分式为有理真分式 правильная рациональная дробь，否则称为有理假分式 неправильная рациональная дробь.

有理分式的一般积分规则 Общее правило интегрирования рациональных дробей:

  1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби;

  2. Разложить знаменатель правильной дроби на множители и представить ее виде суммы простейших рациональных дробей;

  3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

三角函数积分Интегрирование тригонометрических функций

（具体方法不写了，就是用三角代换那些）

“万能代换” универсальная тригонометрическая подстановка \(t=tg \frac{x}{2}\)

定积分 Определённый интеграл

定积分的几何意义：非负函数的定积分在数值上等于曲边梯形的面积。

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

读法： \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) 读作 интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс.

интеграл от а до бэ от функций эф

$F(x)\vert _{a}^{b}$ 读作 эф болишое от икс на подстановка от а до бе. (??)
俄文 中文
определённый интеграл 定积分
верхний предел 积分的上限
нижний предел 积分的下限
интегрируемая 可积的
теорема о среднем 积分中值定理 Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке [a;b], то сущесувует точка \(c\in [a;b]\) такая, что \(\int_{a}^{b} f(x) dx=f(c)·(b-a)\)
сохраняет знак 恒正或恒负 定积分的保号性：Если функция \(f(x)\) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) имеет тот же знак, что и функция.
Формула Ньютона-Лейбница 牛顿-莱布尼茨公式 \(\int_{a}^{b} f(x) dx=F(x)\vert _{a}^{b}=F(b)-F(a)\)
Вычисление определенного интеграла подстановкой 定积分的换元法
Интегрирование по частям 分部积分法
несобственные интегралы 广义积分 Несобственный интеграл I рода. 一类广义积分
Несобственный интеграл II рода.二类广义积分
интеграл сходится 积分收敛
интеграл расходится 积分发散

重积分 Кратный интеграл

俄文 中文 注释
двойной интеграл 二重积分 \(\iint\limits_{D} f(x;y)dxdy\)
двукратный интеграл 二次积分 \(\int dy \int f(x)dx\)
тройной интеграл 三重积分
трехкратный интеграл 三次积分
правильная в направлении оси Oy X型区域 Область D называется правильной в направлении оси Oy , если любая прямая параллельная оси Oy , пересекает границу области не более, чем в двух точках.
правильная в направлении оси Ox Y型区域（同理）
определитель Якоби 或 якобиан. 雅可比行列式 \(I(u;v)=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\)
\(\iint\limits_{D} f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D} f(\varphi(u;v),\psi (u;v)) \vert I(u;v) \vert dudv\)

曲线积分 Криволинейный интеграл

俄文 中文 注释
Криволинейный интеграл I рода 或 криволинейный интеграл по дуге кривой 第一类曲线积分 可用于求解线段的质量
Криволинейный интеграл II рода 或 криволинейный интеграл по координатам 第二类曲线积分 常用于求做功大小
замкнутая кривая 闭合曲线
формула Остроградского – Грина 格林公式 \(\iint_{D}(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y})dxdy=\oint_{L}Pdx+Qdy\)
所以，若\(\frac{\part Q}{\part x}-\frac{\part P}{\part y}=0\) 则积分\(\int_{L}P(x;y)dx+Q(x;y)dy\) 与路径无关

Поверхностный интеграл 曲面积分

矢量场 Векторное поле

俄文 中文 定义
скалярное поле 标量场
градиент 梯度 \(\displaystyle \operatorname {grad} f(x;y;z)= \nabla f(x;y;z)=f_{x}(x;y;z)\vec{i}+f_{y}(x;y;z)\vec{j}+f_{z}(x;y;z)\vec{k}\)
векторное поле 矢量场
поток 流量 \(K=\iint\limits_{S}\ \vec{a} \vec{n}\ ds=\iint\limits_{S}\ Pdydz + Qdxdz+Rdxdy\)
потенциал 读作(扒天……) 场势 \(U(x;y;z)=\int\limits_{(x_{0},y_{0},z_{0})}^{_{(x,y,z)}}Pdx+Qdy+Rdz=\int\limits_{x_{0}}^{x} P(\chi;y_{0};z_{0})d\chi+\int\limits_{y_{0}}^{y} Q(x_{0};\xi;z_{0})d\xi+\int\limits_{z_{0}}^{z} R(x_{0};y_{0};\zeta)d \zeta\)
дивергенция 或 расходимость 散度 \(\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\mathbf{\nabla } \cdot \mathbf {F} = \frac{\part P}{\part x}+\frac{\part Q}{\part y}+\frac{\part R}{\part z}\)
циркуляция 环量 \(C=\oint\limits_{L} \vec{a} \vec{dr} = \oint\limits_{L} Pdx+Qdy+Rdz\)
ротор 旋度 \({\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\\partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j &\mathbf k\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}\)
формула Стокса 斯托克斯公式 \(\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}d{\mathbf {l}}=\iint \limits _{{S}}{\operatorname {rot}}}{\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {n}}dS\) 或 \(\int \limits _{{\Gamma }}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint \limits _{{\Sigma }}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\)
формула Гаусса—Остроградского 或 формула Остроградского 高斯公式 \(\iiint \limits_{{\Omega }}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dxdydz=\oiint\limits_{\Sigma} {\displaystyle P\,dy dz+Q\,dz dx+R\,dxdy}\)
оператор Гамильтона 哈密顿算子 \(\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}\)
лапласиан 拉普拉斯算子 \(\Delta=\nabla^{2}\)
二阶偏导之代数和 Это сумма частных производных второго порядка потенциала векторного поля
соленоидальное поле 无源场，螺线矢量场 散度为0
[потенциальное 或 безвихревое 或 градиентое] векторное поле 保守场 \(\oint {\vec v}\cdot d{\vec r}=0\) 旋度为0
гармоническое 或 лапласовое поле 调和场 散度、旋度均为0。可由\(\Delta U \equiv 0\)推得

级数 Ряд

俄文 中文 注释
ряд - ряды 级数
последовательность 有序数列(??)
общий член (ряда) 通项
числовой ряд \(u_{n}\) - число
знакопостоянный 正项级数 \(u_{n} \ge 0\)
знакополотельный 恒正
знакоотрицательный 恒负
знакопеременный 任意项级数
знакочередующийся 交错级数
функциональный ряд \(u_{n}=u_{n}(x)\)
степеный 幂级数
Фурье 傅里叶级数
тригонометрия 三角级数
ряд геометрической прогрессим 等比级数，又称几何级数
гармонический ряд 调和级数 \(\frac{1}{n}\)
обобщённо-гармонический ряд p级数 \(\frac{1}{n^{p}}\)
n-я частичная сумма 前n项和 \(S_{n}\)
сумма ряда 数列的和 \(S=\sum \limits_{n=1}^{\infin}u_{n}\)
ряд сходится 级数收敛
ряд расходится 级数发散
необходимый признак сходимости числового ряда 级数收敛的必要条件 即为\(\lim \limits_{n\to \infin} u_{n}=0\)
грамонический ряд 调和级数 \(\sum \limits_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n}\)

判断正项级数收敛的充分条件 Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

俄文 中文 注释
1-й признак сравнения рядов 比较审敛法 \(u_{n}\leq v_{n}\)
2-й признак сравнения рядов 比较审敛法的极限形式 \(\lim \limits_{n\to \infin}\frac{u_{n}}{v_{n}}=l\)
признак Даламбера 比值审敛法，又称达朗贝尔审敛法 \(\lim \limits_{n\to \infin}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho<1\)
радикальный признак Коши 根值审敛法 \(\lim \limits_{n\to \infin} \sqrt[n]{u_{n}}=l<1\)
интегральный признак Коши 积分审敛法 \(\int_{1}^{+\infin} f(x)dx\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

判断交错级数收敛

莱布尼兹审敛法 признак Лейбница:

有交错级数\(\sum \limits_{n=1}^{\infin} (-1)^{n-1} u_{n}\), 若满足条件：

  1. \(u_{n}\ge u_{n+1}\)

  2. \(\lim \limits_{n\to\infin}u_{n}=0\)

    则级数收敛，且其和\(s \le u_{1}\)

判断任意项级数收敛 Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

俄文 中文 注释
абсолютная сходимость 绝对收敛 如果\(\sum\limits_{n=1}^{\infin}\vert u_{n} \vert\) 收敛，则称级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infin} u_{n}\)绝对收敛
условная сходимость 条件收敛 如果\(\sum\limits_{n=1}^{\infin} \vert u_{n} \vert\) 发散，而\(\sum\limits_{n=1}^{\infin}u_{n}\)收敛，则称\(\sum\limits_{n=1}^{\infin}u_{n}\)条件收敛

泰勒级数和麦克劳林级数 ряд Тейлора и ряд Маклорена

俄文 中文
ряд Тейлора (读作忒拉拉) 泰勒级数
ряд Маклорена 麦克劳林级数
разложение функций в степенные ряды 幂级数展开

傅里叶展开 Разложение Фурье

狄利克雷条件是傅里叶展开的一个充分条件。

Условия Дирихле 狄利克雷条件:

  1. кусочно-непрерывна 在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点[1]
  2. кусочно-монотонна 在一个周期内至多只有有限个极值点[1]

\(f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infin} a_{n}\cos (nx)+b_{n}\sin (nx)\)

\(a_{0}=\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\)

\(a_{n}=\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos (nx)dx,\ n=1,2,3...\)

\(b_{n}=\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin (nx)dx,\ n=1,2,3...\)

微分方程 Дифференциальное уравнение

微分方程黑话为 дифуры，简写为ДУ

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 引出微分方程的问题（自我总结）

  1. Движение материальной точки, на которую действует сила сопротивления среды.
  2. Другие физические проблемы.
俄文 中文 注释
Теорема существования и единственности решения 解的存在唯一性定理
задача Коши (ЗК) 求出满足微分方程的初始条件的方程的解，这一任务被称为 задача Коши
частное решение 特解 произвольное 表示任意的
общее решение 通解
начальное условие(НУ) 初始条件
однородной 齐次的 \(y'=f(x;y)\) называется однородным, если функция f(x;y) есть однородная функция нулевого порядка.
подставим \(y=ux\), чтобы решить задачу.
однородная функция n-го порядка n次齐次函数 Если \(f(\lambda x;\lambda y)=\lambda^{n}f(x;y)\), то функция f(x;y) называется однородной функцией n-го порядка.

微分方程的分类及其解法

俄文 中文 形式 解法
уравление с разделяющимися переменными 变量分离方程 \(P(x)dx+Q(y)dy=0\) 直接积分就行
однородное дифференциальное уравнение 齐次微分方程 \(P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0\) 令\(y=ux\), 则\(y'=u+u'x\)
линейное однородное дифференциальное уравнение(ЛОДУ) 齐次线性微分方程
линейное дифференциальное уравнение первого порядка 一阶线性微分方程 его можно записать в виде \(y'+p(x)y=g(x)\)
解一阶线性微分方程的方法如下：
метод И.Бернулли 伯努利方法 Пусть y=uv, подставим его.
Найдите u или v так, чтобы член, содержащий y, исчез, а затем в находке u и v получите y=uv - это результат.
令y=uv, 代入求出u或v使包含y的项消失，再带入求出u和v，得到y=uv即为结果		 \(y =( \int g(x)e^{\int p(x)dx}dx+C) e^{-\int p(x)dx}\)
метод Лагранжа (метод вариации прозвольной постоянной) 常数变易法[1] решить его однородное ДУ, потом частное решение. 在[1]中只介绍了该方法。就是先解它的齐次方程，然后设常数为u(x)，代入原方程来解。
解一阶线性微分方程的方法如上：
уравнение Я. Бернулли 伯努利方程 его можно записать в виде \(y'+p(x)y=g(x)y^{n}\)
нужно разделить \(y^{n}\)		 令\(z=y^{1-n}\), 则原式=\(\frac{1}{1-n}z'+p(x)z=g(x)\)
уравнение Лагранжа 拉格朗日方程 \(y=x\cdot \varphi(y')+\psi(y')\)
уравнение Клеро 克莱罗方程 \(y=x\cdot y'+\psi(y')\)
уравнение в полных дифференциальлах 全微分方程 \(P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0\), где \(P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y)\)
необходимое и достаточное условие：\(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\)
уравнение, допускающее понижение порядка 可降阶的高阶微分方程 \(y^{(n)}=f(x)\)
\(y''=f(x;y')\)
линейное однородное ДУ второго порядка 二阶线性齐次微分方程 \(y=c_{1}e^{k_{1}x}+c_{2}e^{k_{2}x}\)
линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) n-го порядка n阶线性齐次微分方程
характеристическое уравнение 特征方程
линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) 非齐次线性微分方程 \(y=\hat{y}+y^{*}\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程：

\(y''+py'+qy=0\)

建立特征方程，求出根\(r_{1},r_{2}\)

  1. 如果是两个不相等的实根，则通解为\(y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}\)
  2. 如果是两个相等的实根，则通解为\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}\)
  3. 如果是一对共轭虚根\(r=\alpha \pm \beta\), 则通解为\(y=e^{\alpha x}(C_{1} \cos (\beta x)+C_{2} \sin (\beta x))\)

二阶常系数非齐次线性微分方程：

\(y''+py'+qy=f(x)\)

f(x)为\(e^{\lambda x}P_{m}(x)\) 型

  1. 若\(\lambda\) 不是齐次线性微分方程的特征方程的根，则特解\(y^{*}=Q_{m}(x)e^{\lambda x}\)
  2. 若\(\lambda\) 是特征方程的单根，则特解\(y^{*}=x Q_{m}(x)e^{\lambda x}\)
  3. 若\(\lambda\) 是特征方程的重根，则特解\(y^{*}=x^{2} Q_{m}(x)e^{\lambda x}\)

解=通解+特解 \(y=Y+y^{*}\)

再代入初始条件即可得到结果。

概率论 Теория вероятностей

一些词：

硬币：герб国徽面，решка 数字面

кость-кубик 骰子

шар 球

оба 两个

стандартным 合格的

\(P(AB)\) 读作 ？？？

вынимания с возращением 取出后放回

вынимания с невозращением 取出后不放回 ？？？

появление герба при бросании монеты;
появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;
попадание в цель при выстреле;
появление туза при вынимании карты из колоды.

хотя бы один ……至少一个

только один ……只有一个

не……ни один…… 一个也没有

априори 先验

апостериори 后验

如何设事件：

Пусть А = ""

\(P(A)=...\)

俄文 中文 注释
классическое определение вероятности 古典概型 Существует целый класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов легко оценить непосредственно из условий самого опыта.
\(P(A)=\frac{m}{n}\)
исход испытания n
событию исходов m
статистическое определение вероятности 统计概型？？ 类似古典概型，但试验数量巨大
геометрическое определение вероятности 几何概型
испытание 或 опыт 试验
событие 事件 发生：произошло, появилось
вероятность события А 事件A的概率 记为 P(A)，读作 вероятность события А
относительная частота события A 事件A的频率 \(W(A)=\frac{M}{N}\)
достоверное событие 必然事件 обязательно произойдёт
\(\Omega\) 或 \(U\)
невозможное событие 不可能事件 обязательно не произойдёт
\(\empty\) 或 \(V\)
случайное событие 随机事件 может произойти или может не произойти
единственно возможное 唯一的可能
сумма \(A+B\) \(P(A+B)\) 使用 или
произведение \(A\cdot B\) \(P(A\cdot B)\) 使用 и
условная верноятность 条件概率 Условной вероятностью \(P_{A}(B)\) события В называется его вероятность, вычисленная в предположении, что событие А произошло.
\(P_{A}(B)\) . 怎么读还不清楚，可能读作 Условная вероятность B при условии A
независимое событие 独立事件 \(P(AB)=P(A)P(B)\)
несовместное событие 互斥事件 Они не могут появиться(发生) одновременно в одном испытании.
\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)
противоположное событие 对立事件 \(\bar{A}\)
полная группа событий (ПГНС) 完备事件组 \(\sum \limits_{i=1}^{n}P(A_{i})=1\)
формула полной вероятности (ФПВ) 全概率公式 \(P(A)=\sum \limits_{i=1}^{n} P(B_{i})\cdot P_{B_{i}}(A)\)
формула Байеса 贝叶斯公式 \(P_{A}(B_{i})=\frac{P(B_{i})\cdot P_{B_{i}}(A)}{P(A)}\)
формула Бернулли 伯努利公式 \(P_{n}(k)=\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}\)
асимптотическое приближение функции f(x) Фунеция \(\varphi(x)\) называется асимптотическим приближением функции f(х), если \(\lim \limits_{n\to \infin} \frac{f(x)}{\phi(x)}=1\)
Схема испытаний Бернулли 伯努利试验
локальная формула Лапласа 拉普拉斯分布 \(P_{n}(k)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\cdot \varphi (\frac{k-np}{\sqrt{npq}})\) 当 n>>10的时候用
формула Пуассона 泊松分布 \(P_{n}(k)\approx \frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda}}{k!},\lambda=np\) 当 p<<0.1时候用
интегральная функция Лапласа 或 интегралый вероятность \(\Phi(x)\approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{0}^{x} e^{- \frac{x^{2}}{2}}dx\)
可推出如下公式：
интегральная теорема Лапласа \(P_{n}(k_{1};k_{2})\approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{x_{1}}^{x_{2}}e^{- \frac{x^{2}}{2}}dx\), где \(x_{1}=\frac{k_{1}-np}{\sqrt{npq}}; x_{2}=\frac{k_{2}-np}{\sqrt{npq}}\)
закон больших чисел 大数定理
закон больших чисел в форме Бернулли 伯努利大数定理 \(\lim \limits_{n\to \infin} P(\vert \frac{m}{n}-p \vert < \varepsilon)=\lim \limits_{n\to \infin} 2 \Phi (\varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}})=2\cdot \frac{1}{2}=1\)
теорема произведения \(P(A\cdot B)=P(A)\cdot P_{A}(B)=P(B)\cdot P_{B}(A)\)

排列组合

俄文 中文 注释
перестановка 全排列 \(P_{n}=n!\)
размещение 排列 \(A_{n}^{m}=\frac{P_{n}}{P_{n-m}}=\frac{n!}{(n-m)!}\)
сочетание 组合 \(C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{P_{m}}=\frac{n!}{(n-m)!m!}\)
读作сочетание из n по m
порядок 顺序 порядок важен или не важен 顺序重要或不重要，（决定是用排列还是组合）
элементы комбинаторики 或соединение “组合”

随机变量 Случайная величина

俄文 中文 注释
случайная величина (СВ) 随机变量
дискретная случайная величина (ДСВ) 离散型随机变量
непрерывная случайная величина (НСВ) 连续型随机变量
характеристик 特征 随机变量的特征包括如下：
математическое ожидание 数学期望 \(M(X)=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}p_{i}\)
дисперсия 方差 \(D(X)=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{(x_{i}-\bar{x})^{2} n_{i}}{n}\)
\(D(X)=M(X^{2})-(M(X))^{2}\)
среднее квадратическое отклонение 标准差 \(\sigma(X)=\sqrt{D(X)}\)
мода 众数 \(Mo(X)\)
медиана 中位数 \(Me(X)\)
\(P(X<Me)=P(X>Me)=\frac{1}{2}\)
随机变量的特征包括如上：
биномиальный закон распределения 或 биномиально распределенный 二项分布 \(p=C_{n}^{k} p^{k}q^{n-k}, M=np, D=npq\)
закон Пуассона 泊松分布 \(X \sim P(\lambda), p = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}, M=D=\lambda\)
функция плотности вероятности 概率密度函数 f(x)
функция распределения 分布函数 F(x)
распределена нормально 正态分布 \(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\alpha )^{2}}{2\sigma^{2}}}\)
показательное (экспоненциальное) распределение случайной величины 指数分布 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \ \ x\ge 0\)
правило «3-х сигм» 三西格玛准则

李雅普诺夫中心极限定理 Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова

俄文 中文 注释
начальный момент порядка k случайной величины Х \(\nu _{k}=M(X^{k})\)
центральный момент порядка k случайной величины Х \(\mu _{k}=M[(X-M(X))^{k}]\)
асимметрия \(A=\frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}}\)
эксцесс \(E=\frac{\mu_{4}}{\sigma^{4}}-3\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

数理统计 Математическая статистика (МС)

样本及抽样分布

俄文 中文 注释
единица наблюдения 个体 составной элемент или член группового объекта.
генеральная совокупность 总体
выборка 样本
выборочная совокупность
признак 数字特征 проявлением которого один предмет отличается от другого.
объём генеральной совокупности 总体容量
объём выборки 样本容量 n
варианты \(x_{i}\)
частота 频数 也被称为абсолютная частота 或 частота (или вес) варианты \(n_{i}\)
Погрешность 或ошибка 误差
относительная частота 相对频数 \(W_{i}=\frac{n_{i}}{n}\), где n - объём выборки
полигон частот 分布多边形
ширина классового интервала \(\lambda = \frac{x_{max}-x_{min}}{k}\)
k - число классов. Существует формула Стерджеса $k=1+3,32 \lg(n) $ и при n>100 можно использовать формулу \(k=5\lg(n)\) (Брукс, Карузерс).
“样本的分类间距”
гистограмма распределения частот 频率分布直方图
Кумулята 或 график накопленных частот 累计频率曲线 \(Sn_{i}\)
огива 将累计频率曲线的x-\(S_{n_{i}}\) 轴对调即为огива
средняя величина 平均数
средняя арифметическая 算数平均 \(\bar{x}\) - центр распределения
взвешенная арифметическая средняя 加权算术平均
средняя квадратическая \(\bar{x_{q}}=\sqrt{\frac{x^{2}}{n}}\)
средняя кубическая \(\bar{x_{q}}=\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{n}}\)
средняя гармоническая \(\bar{x}_{h}=\frac{n}{\sum(\frac{n_{i}}{x_{i}})}\)
показатели вариации
среднее линейное отклонение \(d(X)=\frac{\sum \vert x_{i}-\bar{x} \vert n_{i}}{n}\)
дисперсия 样本方差 \(S_{x}^{2}\)
среднее квадратическое отклонение(СКО) 样本标准差 \(S_{X}=\sqrt{S_{X}^{2}}\)
СКО исправленное \(S_{Xu}=\sqrt{S_{Xu}^{2}}=\sqrt{\frac{n}{n-1} S_{X}^{2}}\)
коэффициент вариации \(Cv = \frac{S_{X}}{\bar{x}}100\%\)
медиана 中位数 интервальный ряд: \(Me=x_{Н}+\lambda (\frac{\frac{n}{2}-Sn_{i}}{n_{Me}})\)
безынтервальный: \(Me=\frac{x_{i+1}+x_{i}}{2}+\lambda (\frac{\frac{n}{2}-Sn_{i}}{n_{Me}})\)
мода 众数 \(Mo=x_{н}+\lambda (\frac{n_{2}-n_{1}}{2n_{2}-n_{1}-n_{3}})\)

参数估计

俄文 中文
точечные и интервальные оценки генеральных параметров 参数的点估计与区间估计
условное среднее 置信区间

假设检验

俄文 中文 注释
уровень значимости 显著性水平 记为\(\alpha\), 一般这样用：При уровне значимости
доверительная вероятность \(\gamma=1-\alpha\)
критерий согласия ?? 用于检验的标准
критерий Пирсона 记为\(\chi^{2}=\sum \frac{(n_{i}-n_{i}')^{2}}{n_{i}'}\)
卡方分布 记为\(\chi_{крит} ^{2}\), 读作«хи-квадрат»。实际使用时与\(\chi_{набл} ^{2}\)比较

相关和回归分析 Элементы корреляционного и регрессионного анализа

俄文 中文 注释
эмпирический коэффициент корреляции 或 Коэффициент корреляции Пирсона (皮尔逊)相关系数 \(r_{xy}=\frac{\frac{1}{n}\sum (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{S_{x}S_{y}}\)
\(\vert r_{xy} \vert <0.3\) слабая
\(0.3 <\vert r_{xy} \vert <0.6\) средняя
\(0.6<\vert r_{xy} \vert <0.9\) сильная
\(\vert r_{xy} \vert >0.9\) почти функциональной
метод наименьших квадратов(МНК) 最小二乘法
两个变量可能的关系：>>
функциональная зависимость 完全的函数关系，没有任何偏差
статистическая зависимость 具有一定的关系
независимость 没有关系
<< 两个变量可能的关系
做回归问题步骤：>>
1. корреляционное поле
2. гипотеза 假设
3. поиск параметров регрессии 计算回归参数
<< 做回归问题步骤
отклонение 偏差 比如最小二乘法时的偏差\(\delta\)

数理方程 Уравнения математической физики

基本的方程：

  1. Гиперболическое уравнение 双曲方程

  2. Параболическое уравнение 抛物线方程

  3. Эллиптическое уравнение 椭圆方程

基本

俄文 中文
дифференциальное уравнение (ДУ) 微分方程
частная производная (ЧП) 偏微分
ДУ с ЧП 带偏导数的微分方程
граничные условия 边界条件
начальные условия 初始条件
краевые условия （初始条件和边界条件的总和）
функции нескольких переменных (ФНП) 偏微分方程
неизвестный 未知的
линейный 线性的
однородный/неоднородный 齐次的/非齐次的
задача Коши （已知初始条件求微分方程的解的问题）

一些方程

俄文 方程 中文
волновое уравнение \(\frac{\part ^{2}U}{\part t^{2}}=a^{2}\Delta U\)
оператор Лапласа \(\Delta\) 拉普拉斯算子
уравнение теплопроводности 热传导方程
уравнение Лапласа \(\Delta \phi = 0\) 拉普拉斯方程
уравнение Пуассона \(\Delta \phi = -\rho\) 泊松方程
уравнение Даламбера \(\phi = -\rho\) 达朗贝尔方程
уравнение Шрёдингера

双曲线方程

俄文 中文
формула Даламбера 达朗贝尔公式
метод Фурье 或 метод разделения переменных
нетривиальное решение 非平凡解
уравнение свободных колебаний струны 弦的自由振动方程

抛物线方程 Параболическое уравнение

Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии.

抛物线方程最常见于热传导和扩散过程的研究。

俄文 中文 定义
уравнение распространения тепла в стержне \(\frac{\part u}{\part t}=a^{2}\frac{\part^{2}u}{\part x^{2}}\)
уравнение распространения тепла в пластинке \(\frac{\part u}{\part t}=a^{2}(\frac{\part^{2}u}{\part x^{2}}+\frac{\part^{2}u}{\part y^{2}})\)
уравнение теплопроводности в пространстве
первая краевая задача (寻找最大值和最小值的问题)

解题

Задача Коши для неограниченной струны:

有函数u满足\(\frac{\part ^{2} u}{\part t^{2}}=a^{2}\frac{\part ^{2}u}{\part x^{2}}\) при начальных условиях \(u\vert _{t=0}=\varphi (x), \frac{\part u}{\part t} \vert _{t=0}=\Psi (x)\)

则解为\(u(x,t)=\frac{\varphi (x+at) + \varphi (x-at)}{2} + \frac{1}{2a} \int \limits_{x-at}^{x+at}\Psi (\tau)d\tau\) (формула Даламбера)

复变函数 Функция комплексного переменного[2]

ТФКП теория функций комплексного переменного 复变函数

ТФДП теория функций действительного переменного 实变函数

复数 комплексное число

комплексное число 复数 \(z=x+yi\)

x - действительная часть 实部 \(x=Re\ z\)

y - мнимая часть 虚部 \(y= Im \ z\)

i - мнимая единица

\(z=x\) 称为 действительное число实数

\(z=yi\) 称为 мнимое число虚数

сопряжённый 共轭

\(\frac{i}{3}\) 读作 1/3 i 即 одна третья и

复数无法比较大小，但能判断相等。

комплексная плоскость 复数坐标系 ??

действительная ось 实轴

мнимая ось 实轴

модуль 模

аргумент 辐角 \(\varphi = Arg\ z = arg\ z + 2k\pi\)

главное значение аргумента 辐角主值 \(arg\ z\in(-\pi;\pi]\)

形式：

алгебраическая форма:\(x+yi\)

тригонометрическая форма: \(r(cos\varphi+isin\varphi)\)

показательная(экспоненциальная) форма: \(e^{i\varphi}\)

формула Муавра （复数的几次方公式）：\(z^{n}=\rho^{n}(\cos n \theta+i\sin n\theta)\)

可推出：\(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi+2\pi k }{n}+i\sin \frac{\varphi+2\pi k }{n})\)

复变函数 Функция комплексного переменного

复变函数可微的充要条件被称为： условия Эйлера-Даламбера 或 условия Коши-Римана，中文简称C-R方程，如下：\(\frac{\part u}{\part x}=\frac{\part v}{\part y}, \frac{\part u}{\part y}=-\frac{\part v}{\part x}\)

最小周期为 \(2\pi i\): периодический с мнимым основным периодом \(2\pi i\).

Показательная функция 指数函数\(w=e^{z}\)

Логарифмическая функция 对数函数 \(w=Ln\ z\)

Степенная функция 幂函数 \(w=z^{n}\)

Тригонометрическая функция 三角函数：

\(\sin\ z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\),\(\cos\ z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\),

Гиперболическая функция 双曲函数：

\(sh\ z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\), \(ch\ z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\), \(th\ z =\frac{sh\ z}{ch\ z}\), \(cth\ z =\frac{ch\ z}{sh\ z}\)

обратная тригонометрическая функция 反三角函数

函数的零点称为 нуль функции

аналитическая解析函数：区域上处处可微(дифференцируема)的复变函数

使 f(z) 解析的z点，称为 правильная точка

使 f(z) 不解析的z点，称为 особая точка 奇点

\(\vert f'(z_{0}) \vert >1\) 时，\(\vert f'(z_{0}) \vert\)称为 коэффициент растяжения

\(\vert f'(z_{0}) \vert <1\) 时，\(\vert f'(z_{0}) \vert\)称为 коэффициент сжатия

奇点：
如果奇点的一些邻域上没有其他奇点，则称该奇点изолированная.

复变函数的积分 Интегрирование функции комплексного переменного

复变函数的积分 Интегрирование функции комплексного переменного
\(\int \limits_{L} f(z)dz=\int \limits_{L} udx-vdy+i\int \limits_{L} vdx+udy\)

也可用参数方程 комплексное параметрическое уравнение: \(z=z(t)=x(t)+iy(t)\), 积分式为 \(\int \limits_{L} f(z)dz=\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} f(z(t))z'(t)dt\)

Теорема Коши: 如果复函数解析，则\(\oint \limits_{L} f(z)dz=0\)

Интеграл Коши 或 Интегральная формула Коши: 若函数在区域D上解析，且\(z_{0}\in D\)，则 \(f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i} \oint \limits_{L} \frac{f(z)}{z-z_{0}}dz\)

первообразная 原函数

复级数 ряды в комлексной плоскости

необходимый признак сходимости ряда 复级数收敛的必要条件: \(\lim \limits_{n \to \infin} u_{n}=0\)

如果\(\sum \limits_{n=1}^{\infin} \vert u_{n}\vert\)收敛，则称\(\sum \limits_{n=1}^{\infin} u_{n}\) 绝对收敛(абсолютно сходится).

如果\(\lim \limits_{n \to \infin} \vert \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\vert=l\) , 当l<1时，级数绝对收敛，当l>1时，级数发散(расходится)。

幂级数Степенный ряд:

\(\sum \limits_{n=0}^{\infin} c_{n}z^{n}=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+ ... + c_{n}z^{n}+...\)

收敛域 область сходимости

收敛半径 радиус сходимости

Ряд Тейлора 泰勒级数，函数需在\(\vert z - z_{0} \vert < R\) 上解析 \(f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infin} c_{n} (z-z_{0})^{n}\), \(c_{n}=\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}=\frac{1}{2 \pi i} \oint \limits_{l_{r}} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_{0})^{n+1}}d\xi,\ (n=0,1,2,3,...)\)

радиус сходимости степенного ряда 幂级数的收敛半径 R

常见函数的在\(z_{0}=0\)的泰勒展开:

\(e^{z}=\sum \limits_{k=0}^\infin \frac{z^{k}}{k!} \ (R=+\infin)\)

\(\sin z=\sum \limits_{k=0}^\infin \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!} \ (R=+\infin)\)

\(\cos z=\sum \limits_{k=0}^\infin \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!} \ (R=+\infin)\)

\(sh\ z=\sum \limits_{k=0}^\infin \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} \ (R=+\infin)\)

\(ch\ z=\sum \limits_{k=0}^\infin \frac{z^{2k}}{(2k)!} \ (R=+\infin)\)

\(ln(1+z)=\sum \limits_{k=0}^\infin \frac{(-1)^{k-1} z^{k}}{k} \ (R=1)\)

\((1+z)^{\alpha}=\sum \limits_{k=0}^\infin \frac{\alpha (\alpha-1)...(\alpha - k + 1)}{k!}z^{k}\ (R=1)\)

Ряд Лорана 洛朗级数，函数需在\(r<\vert z - z_{0} \vert < R\) 上解析。 \(f(z)=\sum \limits_{n=-\infin}^{+\infin} c_{n} (z-z_{0})^{n}\), \(c_{n}=\frac{1}{2 \pi i} \oint \limits_{L} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_{0})^{n+1}}d\xi,\ (n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...)\)

$f(z)=\sum \limits_{n=-\infin}^{+\infin} c_{n} (z-z_{0})^{n} $

\(=\sum \limits_{n=0}^{+\infin} c_{n} (z-z_{0})^{n} + \sum \limits_{n=1}^{+\infin} \frac{c_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}\) 该式左边称为 правильная часть ряд Лорана, 右边称为 главная часть ряд Лорана

拉普拉斯变换 Преобразование Лапласа

Пусть \(f(t)\) - действительная функция действительного переменного t.

Функция \(f(t)\) называется оригиналом, если:

  1. \(f(t)\equiv 0\) при \(t<0\)

  2. \(f(t)\) - кусочно-непрерывная при \(t \ge 0\) 在任意有限区间上分段连续

  3. Существуют такие числа \(M>0\) и \(s_{0}\ge 0\), что для всех t выполняется неравенство \(\vert f(t) \vert \le M\cdot e^{s_{0}t}\) 这个\(s_{0}\) 被称为增长指数 показатель роста.

则象函数\(F(s)\) 在半平面\(Re\ s > c\) 上一定存在且解析。

俄文 中文 公式
изображение 象函数 \(F(p)=\int \limits_{0}^{\infin} f(t) \cdot e^{-pt} dt\)
оригинал 象原函数 \(f(t)\)

俄罗斯用\(F(p) \doteqdot f(t)\) 表示互为拉氏变换，前后可以调换。我们的数学老师上课时用右箭头→上下两点表示变换以及计算的方向。

国内用\(F(s)=L[f(t)]\) 和\(f(t)=L^{-1}[F(s)]\)表示。

拉普拉斯变换的性质 Свойства преобразования Лапласа

俄文 中文 公式
линейность 叠加原理 \(c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t) \doteqdot c_{1}F_{1}(p)+c_{2}F_{2}(p)\)
подобие 尺度变换 \(f(\lambda t)\doteqdot \frac{1}{\lambda}F(\frac{p}{\lambda}), \lambda>0\)
смещение 位移定理 \(e^{at}f(t)\doteqdot F(p-a)\)
запаздывание 延迟定理 \(f(t-\tau) \doteqdot e^{-p\tau}F(p)\)
дифференцирование оригинала 微分定理 \(f'(t) \doteqdot pF(p)-f(0)\)
дифференцирование изображения 复微分定理（s域微分定理？？） \(F'(p) \doteqdot -tf(t)\)
интегрирование оригинала 积分定理 \(\int \limits_{0}^{t} f(\tau)d\tau \doteqdot \frac{F(p)}{p}\)
интегрирование изображения \(\int \limits_{p}^{\infin} f(\rho)d \rho \doteqdot \frac{f(t)}{t}\)
умножение изображения 卷积定理 \(F_{1}(p) \cdot F_{2}(p) \doteqdot \int \limits_{0}^{t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d\tau\)
умножение оригинала \(f_{1}(t) \cdot f_{2}(t) \doteqdot \frac{1}{2 \pi i}\int \limits_{\gamma - i\infin}^{\gamma + i\infin} F_{1}(z) F_{2}(p-z) dz\)
占点位置，不然这个格子的宽度不够。

初值定理和终值定理在我们用的俄罗斯教材[2]里没有。

拉普拉斯变换表

оригинал \(f(t)\) изображение \(F(p)\)
1 \(\frac{1}{p}\)
t \(\frac{1}{p^{2}}\)
\(\sin \omega t\) \(\frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}}\)
\(\cos \omega t\) \(\frac{p}{p^{2}+\omega^{2}}\)

参考文献 Список используемой литературы

  1. 罗辉, 邬振明. 高等数学. 科学出版社, 2012.
  2. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Айрис-пресс. 2017.
  3. 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计 第四版[M]. 高等教育出版社, 2008.
posted @ 2021-03-26 12:39  mariocanfly  阅读(7784)  评论(10)  编辑  收藏  举报