2024杭电多校复盘 （1~5）

因为 6 7 8 三场是我们验的题，我基本没补题，9 10 两场也没认真打，所以只复盘了前5场。

第一场

先开01，先想到的是sam做法，结果写到一半发现，这题内存只给了64M，sam开不下，于是转行SA，过了，但是很勉强。

看了题解才发现哈希直接秒了，怪不得这题过的人这么多。

02 星星，就是个 n^2 的背包，但是队友算错复杂度了哈哈，以为边数是n^3。

03 是个平衡树小练习，感觉没啥好讲的。不过题解用了线段树合并，比我的splay少个log。我经常把这种值域合并的题当成平衡树启发式合并小练习，不过一般线段树合并就够了。

04 zxn说完题，我惊了一下，这不就是线段树分治+可撤销并查集的板子吗，上学期还专门写了博客来着，分析了可撤销并查集tag的标记方式。然后粘过来只改了两行就过了。

05 队友给出了一个非常重要的思路，那就是如果总数是偶数且字符串不能平分，那么每个人获胜概率都是一半，虽然总是Alice先拿，不过既然是随机的，那么Alice和Bob的字符串就是对称的。

06 赛时没思路，赛后补的，发现这么简单。非空子序列的立方和，直接转化为：选三个序列，恰好相同的方案数。比如某个子序列出现了5次，我们把集合复制三份，每个集合中选一个，方案数就是5³。设 \(f[i][j][k]\) 表示 \(s[i]=s[j]=s[k]\) 的三个位置作为三个相同串的末尾，方案数，用 \(w[i][j][k]\) 表示三维前缀和，转移方程就一句话：\(f[i][j][k]=w[i-1][j-1][k-1]+1\)，加 1 表示子序列只选这一个字符，前一个位置的前缀和就是把前面选三个相同序列的所有情况都加上 i j k 三个位置。有另一个写法，就是把序列为空当做一种情况，只选 i j k 单个字符就是从空序列的基础上拓展一个字符，设初值 \(f[0][0][0]=1\)，状态方程改为 \(f[i][j][k]=w[i-1][j-1][k-1]\) ，麻烦的地方在于 \(f[0][0][0]\) 要计到前缀和里。

07 竞赛图三元环计数，曾经和队友在群里讨论过，绝杀。所以说这场俩题撞枪口。求竞赛图三元环数量，只需要求出所有点的入度，答案是\((_2^n)-\sum\limits_{i=1}^n(^{d_i}_2)\)。度数用三维排序做，CDQ分治解决。

08 签到，不是我开的。

12 是矩形并的期望面积，把矩形边界离散化一下，整行整列切割，二维前缀和求出每个小方块儿的覆盖次数，贡献可以单独算。牛客里后来出了一道类似版本，不过那题是矩阵交，且不能为空。

第二场

01 和队友手玩了一下，发现了规律，感觉没什么好说的。

02 是这场过的最难的一道，但是好像我没参与。。。

03 是这场我们队名次高的重要原因（university排名16），点开题目一看，三阶魔方，一下子想起来川大校赛模拟二阶魔方，当时二阶魔方就写了有好久，这题改成了三阶，还有个角贴错了颜色，更难模拟了啊感觉。本来我已经打算开始写了，zxn看了看题目，问我是不是真的不用模拟，他突然脑子亮灯泡了，说只需要判断八个角颜色的顺序就行了，如果是贴错了两个角，那么原本顺时针的颜色顺序一定会变成逆时针，好家伙！直接很快就写完了，不过第一发WA掉了，原因竟然是因为我代码里只写了六个角，属实有点唐了。。。

06 小武写的，我没参与，不过看代码长度，这题不算难。

07 字符串签到，希望题目能描述得再清点。。。理解错题意WA了一发。

08 是个很有意思的题，每个点都会分裂，且会分裂m次！简单地猜下结论就会发现，如果确定了一条链作为直径链，那么第一次分裂后所有点度数就不超过3了，度数为2的点会分成两个2，度数为3的点会分出一个3两个2。我的思路是在树形dp时用 \(f[i]\) 表示选择的链有 i 个 3，最多能有多少个2。一开始怎么也想不到优于n^2的做法，后来突然大胆起来，我猜能一条链能组出不同的3的个数平均不超过根号，这个跟去年济南B的思路很像，只需要用unordered_map记录能够取到的dp值，而为什么平均不到根号呢，其实我没有理性证明，只是个猜想，因为想要有不同的3的个数，就必须让这些点的度数不同，而度数越大，说明这个点的分叉越多，平均下来链长就会变短，大概在根号时复杂度拉满。虽然不知道对不对，不过我还是上手写了。可最后找最大值却把我难住了，我们要找最大值的模数，而我只会用矩阵快速幂算出每个情况取模后的值。

zxn突然发现根本不用矩阵快速幂，而是用高中数列的知识就够求了，设度数为 2 的点数量为 A，3 为 B，每一轮 B 不变，\(A_i=2A_{i-1}+2B\)，写成等比数列：\(A_i+2B=2(A_{i-1}+2B)\)。直接就能通过初值算结果。当m比较小的时候，可以直接求出所有值，都到不了模数，当m比较大的时候，-2B 这一个常数项就显得非常小，我们只需要比较 \(A+2B\) 的值。

看了题解才发现自己唐了，树形dp写的太复杂了点。在m小的时候，每个点分裂m次的长度直接可求，算直径不就行了；m大的时候，把 \(A+2B\) 作为第一关键字，\(-2B\) 作为第二关键字求直径。其实题解有个更简练的式子，就是把度数为 d 的点最终分裂的点数直接算出来了。

10 11 俩题都是小武做的，我没看，不过都是签到难度。

12 我们队卡了两个小时一点突破口没有找到，有点过于坐牢了。赛后群里竟然把洛谷原题链接发出来了，好家伙，于是直接去补了洛谷上的题。

记录n个点的和哈希，哈希值就是在d张图中并查集祖先的val和，如果两个点在d张图中均连通，那么他们每张图中祖先相同，和哈希也相同，统计多少对点哈希值相同，就是哈希值出现次数的平方和。用启发式合并，两个并查集合并时，更新size小的那个连通块的所有点，更新它们的哈希值。

一交，WA了，后来才知道是哈希冲突的原因，虽然不知道是怎么冲突的，碰撞率我也不太会算，不过把p改成自然溢出就好了，然后val值用随机，不要固定base，很容易被卡。

随机一个ull范围（1.8e19）的写法：

mt19937_64 rng(random_device{}());
val[i] = rng();

第三场

01 是个跟因子相关的dp，结论很好找，不过我是把所有因子用vector存下来了，有点卡，事实上枚举因子就能做。

02 一个线段树合并+dp，题目风格很像DSU，不过赛时没做出来，题解也看不懂，摆烂了。

03 通过率11%，一开始我看到这题，很是不解啊，这不是签到难度吗，通过率这么低，是我理解错题了？跟队友讨论了下，马上就想去写。然后被叫住了，原来这题最复杂的地方在于看到醉汉在初始位置的那些人，目击在初始位置时间的奇偶性决定了最早出发时间。不过队友提供了一种按时间将前缀1和其他数分开记录的写法，细节很多，我现在不怎么回忆得起来了，反正就是set判左右，判奇偶，写得相当艰难且麻烦，不过最后关头还是把它过掉了，可喜可贺。

07 线段树pushup小练习，本来想上手写，zxn提醒我只需要维护差分数列就行了，我恍然大悟，直接简单了一大半。

08 小武写的，我没看。

11 又是一道细节题，zxn上去狂敲代码，有数不清的变量名，还都有用。WA了好久找我一起调，也没调出来。最后，是哪里错了，竟然是答案爆了int。

12 是签到。

唉，这场打的很魔幻，几句话就讲完了，题也没补。

第四场

Claris场，代码乱搞拉满。

05 和 09 是签到，不需要说。

然后是 07 和 04，两个随机数据题。

07 数列循环移动，并自取max，求出每次移动后的数列和。因为数据是随机的，我猜取最大的根号个数，循环移动后覆盖的位置会很多，实时确实如此，留下的位置虽然有的很长，但是总和大概是n根号级的，再暴力求每一个留下的位置是什么即可。拿最大的数去覆盖，有一个区间加的操作（时间上区间加），可以差分维护。

03 的随机化更是个重量级。

找出k个长度为质数的子段，使子段和的min值最大。现在都不知道自己代码在随机数据下的复杂度，是使劲卡卡过去的，6s的题卡了又卡到了5s过了。

先二分一个答案h，然后线段树维护后缀，二分找第一个是质数且后缀大于h的位置，有点神仙。。。题解是用的set，不知道和线段树有什么区别，不过肯定比我们的代码快。

然后12又是俩队友写的，我看都没看。

唉感觉这两场都没什么好讲的，过题比较少。

做完 03 和 12 就没时间看 06 了，一开始想的是这个题爆搜剪枝，反正m只有50，不过 4^50 有点太大了。

群里有人说dp，jiangly也亲自讨论起了复杂度，虽然这题我们没补（我没有hdu交题账号，一点补题欲望都没），不过想了想好像已经会了。dp记录自己的位置，敌人的位置，敌人的血量，枚举时多一个m，这个复杂度可过。和队友讨论了下dp和记忆化搜索的区别，结论是没有区别，不过我们没想到状态怎么设置，也就是没想到直接记录自己和敌人位置就行了，不需要关心操作序列长什么样，这样可以压缩掉大量的状态。

第五场

02 是个小分类讨论，好像情况挺多的，忘了。

04 比较有意思，首先是 \(lcm(i,j)<=x\) 这个耐人寻味的式子，本以为是数学，但是小武在做 05，没空来帮忙，后来我猜想了下，是不是 n 以内的 i j，lcm 小于 n 的数量会比较少，模拟了一下，发现只有百万级。题解里说了大概是 nlog^2 ，不过其实目测也只有单个 log。

于是我想到了一个线段树合并的做法，权值线段树记录每个值 x 的出现次数。首先将 i j 的贡献合并到 LCA 处，枚举 ij 也比较有讲究，为了保证 lcm 小于 n，我先枚举gcd，再枚举 \(x=\frac i{gcd},y = \frac j{gcd}\)，x·y·gcd 就是 lcm，虽然还需要判断 xy 是否互质，不过总体复杂度也是俩log的，线段树合并也是俩 log 的，我以为已经做完了。

结果给线段树开空间的时候意识到不对劲了，这个空间复杂度是俩 log 的，但这题只给 256M，丸辣。

但是这题也不能就这么放弃啊，算了下空间的极限，我尝试性地去开了132倍空间，乞求数据比较弱，然后一直不断地减小常数，因为线段树合并的写法配上俩log的算法，常数是有点大，这题的评测状态也在 TLE 和 MLE 之间不断盘旋。

最后，4s的题，3968ms跑过去了，我只能说很6。赛后想了想，这题数据卡满还是挺难的。

正解是什么呢，我们注意到，这题我们用权值线段树来统计小于 x 的值，但是为啥这题只问小于 x，而不是问 l 到 r 之间呢（不对。。我错了，改成 l 到 r 之间也能做）。题解是将询问按 x 离线排序，然后一个一个值往树上加，而将树上dfn序形成的区间用一个线段树来维护。挺妙的，这就省去了线段树合并空间上的log。本来以为题目改成 l 到 r 的话需要套莫队的，又想了想好像不用，就把每个询问拆成 r 和 l-1 两个询问，最后答案做个差就行了。

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05 好像卡掉了虚树的做法，小武用虚树搞的，赛后反思了下好像只需要用并查集加个小优化就行了，而且不需要建虚树，吃完饭回来就补了，我没仔细想。

06 打了个小表猜结论，规律是发现了，不过赛时没考虑证明，吃饭的时候把证明给补上了。如果三个数都是1那就必败，归纳完发现三个数都是奇数直接必败，奇偶不同则必胜，但是三个数都是偶数还没发现规律。思考了一下发现，因为要先吃掉一个数，然后再劈开另一个数，那么劈开之后不能是两个奇数，否则三个数奇偶不同了，所以劈开也只能是偶数，那就相当于什么，就是两个两个绑定，操作的粒度都是偶数，三个数都除以二的答案也是一样的。所以输入的三个数都是偶数的话，一直让它们除以2，看最后是三个奇数还是奇偶不同。经过牛客那次比赛后，懂了一个更快的写法，就是判断三个数lowbit是否相同。

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08 猫咪们狂欢，一道有好多种建图方法的流题。

最好想的是zxn提出来的，如果选了一条边，那么就不能选另一棵树上同一个点的相邻边，两边的边可以分成左右两个阵营，且阵营内部不存在冲突，因此可以直接套用最大权独立集：将所有可以狂欢的边连向源汇点，流量设为狂欢值，当然那些狂欢不了的边就不用理睬了，加上冲突边后跑最小割，最大独立集为可以狂欢的总权值减去最小割。

这个建图方式是有复杂度缺陷的，因为 n 取值是1000，如果两棵树都是菊花图，那么第一棵树的每一条边都和另一棵树的所有边冲突，因此二分图中间的边数达到了惊人的n^2，也就是1e6条边，何况这题还是多测，n 总和 10000，最大权独立集的做法显然不是正解。

那么题解是怎么建图的呢？题解转化为了一个最大权闭合子图的模型。

首先让所有猫咪走到第一棵树上（最大权闭合子图经典套路，然后开始考虑移动的代价），算出此时的总和 sum1。对于任何一只狂欢猫，如果它要蹦跶到第二棵树上，那么第一棵树与它相邻的所有边失去狂欢值（需要是邻点有狂欢猫的边），因此开 k 个负权的点表示一只狂欢猫从第一棵树跳到第二棵树这一事件。首先处理第二棵树，如果第二棵树上一条边两个点都跳来了狂欢猫，那么加上这条边的边权，将这条边设成一个正权的点，如果同时选那两只猫的点，那么就可以获得这个正边权的点。怎么在最大权闭合子图模型里描述选了两个点就可以选另一个点呢？我们可以反过来理解为选了另一个点就必须选这两个点，因为闭合子图边的关系是必须而不是可以，因此这个正权的点连向那两只猫。第一棵树上的边也有问题，一条边两边的狂欢猫都跳走了，那么这条边权值被减了两次，我们补偿一个正权点，表示同时跳走这两只猫，就可以额外多获得这条边的权值，建图和第二棵树上的边一样，你会发现甚至是对称的。根据最大权闭合子图的计算公式，我们设正权点总权值和为 sum2，最小割为 maxflow，答案就是 sum1+sum2-maxflow，sum1 是第一棵树所有狂欢边的和，sum2 是第一棵树加第两棵树所有狂欢边的和，为啥建边是对称的但是第一棵树与第二棵树却不对称了呢，因为狂欢猫的那些点负权值是和第一棵树有关的。

这样以来，边数，点数都是 O(n) 的，只能说很妙。

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11 和 13 感觉都有点签，最后讲一下 10。

10 其实是一道歪榜题，因为题面太长没人想去读，和牛客第6场那道挖掘机状况很像。

一开始我在想每个点维护根号个祖先的和，但是将某点权值置为零的修改操作会导致修改一大堆的值，至于那些攒一部分再修改的方法，都想过了，但因为修改和询问操作是叠在一起的，且询问操作也需要修改，所以放弃了根号算法，以为这题挺难的。

结果zxn突然发现，好像这题是个水题，因为每个点的庄稼只会被收割完一次，那么我们倍增找到第一个没被收割完的点，向下收割就可以了，当时距离比赛只有20分钟了，我二话不说开始敲起了倍增代码，然后又讨论起了置零操作会不会干扰倍增的寻找过程，讨论后的处理方式是打个标记，当准备收这个点的庄稼的时候突然发现这个点已经被蝗虫吃掉了，就继续找下一个点。

敲代码敲到一半问题又来了，下一个点怎么找？

每个点有许多儿子，我怎么知道哪个儿子连向的是询问的起点呢？正当我准备写个 dfn 序加 vector 上二分时，zxn跟我说，如果当前点只有一个儿子，就可以直接下去，如果有多个儿子，那么我们从起点再重新倍增一次。这个想法我觉得很天才也很对，虽然复杂度不知道，不过我先写了。

在距比赛结束5分钟的时候，我写完了代码，测一发样例没过，我没慌，我觉得我代码错误不多，然后仔细审阅了一番，发现了一个小错误，改完之后样例第一组过了，第二组没过，又发现是多测没清空 vector。

过样例了，看时间 59 了，直接交，然后直接过了，非常蓟县，16:59:34，20分钟带思考带敲代码带debug，脑子要炸掉了，看到AC了之后马上歇了下来。

本来以为拿了个顽强拼搏，结果一看提交记录还有最后十秒过题的，甚至是同一个题，自愧不如哈哈。