记一个组合数小式子

式子的来源：CF1930E： 2..3...4.... Wonderful! Wonderful!

比赛时看到标题，烤批突然兴奋起来：wonderhoi！~

赛时推出结论了，但是不知道怎么化简，额，或者说本来可以一步到位我却写成了一个求和的式子导致没做出来。

当时推出结论的模型是：中间一堆数全是1，挨在一起，然后左边选k个1，右边选k个1，（k个1允许和中间的1挨在一起）。因为中间1的数量也已知，所以自由区域的总位数也是知道了的。可以理解为n个空位，在某个位置插个板子，左边选k棵树，右边选k棵树，换个位置插板子。。。把所有情况加起来。

答案就是 \(\sum\limits_{i=k}^{n-k}C_i^kC_{n-i}^k\)。

哈哈，当时以为这式子没法化简来着，以为我推错了或者以为可以递推。其实这玩意儿就等于 \(C_{n+1}^{n-2k}\)。

还是上面那个树和插板的模型，你可以把 \(C_{n+1}^{n-2k}\) 理解为：先把板子和树固定（板子左右各有k棵树），然后往里插入空地，插入 n-2k 块儿空地，这些空地可以插在任何地方，加上插板，可以看做 n+1 个物品，选 n-2k 块儿位置（或者选 2k+1 个位置）。

虽然此题赛时没做出来，结论的可拓展性也不强，但至少学会了个小式子：

\(\sum\limits_{i=k}^{n-k}C_i^kC_{n-i}^k = C_{n+1}^{n-2k} = C_{n+1}^{2k+1}\)

\(eg:~C_7^3C_3^3+C_6^3C_4^3+C_5^3C_5^3+C_4^3C_6^3+C_3^3C_7^3=C_{11}^4\)