CF1927G:Paint Charges 题解
G:
题意:(妙妙dp题)给你 a 序列,你可以选 k 个数并决定它们左右方向,每个数可以向左或向右覆盖 个数,求覆盖所有位置的最小 k。(n<=100)
我一开始想这不是 n 方就解决了吗,设 表示覆盖前 i 个位置的最小花费,然后更新每个位置是否选择。一运行发现过不了样例倒数第3个点:选6向右,选8向左。
由于这个数据正好交叉着选,这种做法在枚举到6时,由于认为6左边不能一次覆盖完,于是把6向右的那些状态也更新成了大于2次的值。
很明显,这个dp的错误之处在于后效性:前面的位置是否全部覆盖,并不只由前面位置和当前位置决定,也可以由某个后面位置的向左操作来覆盖。而当我们枚举到后面位置更新前面时,那个6的位置虽然更新过,但我们也不会再去枚举,这就错失了最优解。
任何序列上dp的题,要保证无后效性,就要满足枚举到后面的操作时不会把前面的状态更新掉,否则更新的路线成了环。
Solution:
正确的做法比较有趣,是 “每次枚举两个数”。
我们之前的dp转移操作有两个,“当前位置 i 向左” 和 “当前位置 i 向右” ,我们把操作增加一个 “当前位置 i 向左,前面位置 j 向右”。
第三种操作可以解决样例中6向右,8向左的情况。把这个操作加上之后,我们就消除了后效性的影响,我们的dp状态也因此改为了 表示用前 i 个数字,覆盖 1 到 j 的最小花费。
前两种操作和曾经的思路一样。第三种操作的转移方程就是 从 i 向右再枚举两个位置 x 和 y, 向右 向左,并计算 j 的新位置。( 向左必须要接得上 j)
复杂度 n^3。
反正就,挺妙的说。
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