CF1918 E,F 题解

E：

一个复杂度需要随机化来保证的怪怪交互题。

题意：系统给出一个排列a，并随机出一个初始值now，每次你询问一个位置 i 。若 \(a_i<now\) ，则系统输出<，并使 now--；若 \(a_i>now\) ，则系统输出>，并使 now++；若 \(a_i=now\) ，则系统输出=，now 不变。（n<=2000）请在 40n 次询问内求出整个a序列。

Solution：

比赛时看到 “The interactor in this problem is not adaptive. ”，意识到自己的随机化想法应该可行。

这是一个类似于快速排序的思路，先随机一个位置 i，使得now等于 \(a_i\)，然后询问其他数字，小于 \(a_i\) 的分一组，大于 \(a_i\) 的分一组，每询问一个数字就可以再询问初始数字使得now置回 \(a_i\) 。

分完组后我们发现：我们求出了\(a_i\) 的值（因为原数列为排列），我们将原数列划分成两个子问题，每个子问题长度期望为原来问题的一半。由于每个子问题内的数字都是连续的，因此now的移动距离会随着子问题的划分幅度越来越小。

我们继续在每个子问题内随机一个中间值，不断递归下去，期望层数是log，每个子问题大概需要扫描2n次区间，所以总询问次数大概是2nlogn，由于带着随机化，其实具体的复杂度不太会证明。

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F：

题意：给你一棵树，你从根节点开始蚂蚁爬。你可以使用k次传送，瞬间传送到根，问爬完所有点的最小步数。

Solution：

可以使用0次传送的话，最终停留在深度最大的点，答案为 \(2*(n-1)-dep_{max}\) 。

现在可以使用传送了，我们考虑传送的影响怎么以数字化形式表现。如果我们在点x，下一个要到的点是y，如果不使用传送，花费就是x到y的距离，如果使用传送花费就变成y的深度。可见传送不见得更优。

我们现在需要定下一个访问的顺序。

思考我们什么时候会使用传送：如果在某棵子树中，我们确定了只使用一次传送，那么这次传送一定是在访问完这棵子树内所有点之后再传送，并且是在这棵子树的最深处的点传送节省的更多。

所以我们定下一个访问顺序：从深度较小的子树开始遍历，这样我们可以把每次要传送的情况包含在内。

我们求出欧拉序，可以在欧拉序上求出每次拜访新点的距离，和传送后走到新点的距离作差，选取节省最多的k次来传送。

my submission

总之就是妙妙题，会了就是会，不会就是不会。