CF1804E：Routing 题解

题意：(n<=20) 给出n个点的无向连通稠密图，请你给每个点指定一条边，使得从任意点出发沿着指定的边走，并不断标记自己和所有邻居点，都可以标记完整张图。

Solution：

每个点只能选取一条边，因此n个点选完边后会构成一个基环树。从所有点出发最终都会沿着那个环走，这就要求基环树中环上的子树深度只能是1，否则环上的点就无法标记更子树内更远处的点。

这题是一道状压小练习，细节还蛮多，调起来生动活泼且有趣。

直接DFS枚举环复杂度很难保证，有个同学好像直接写的DFS爆搜结果fst了。

从题解中学到一个保证 $n2^n$ 的做法：

我们目的主要是找到这个环，只要能找到一条可以首尾相接的链即可。设 $f[i][S]$ 表示以 i 作为初始点，链上有集合 S 中的点时，可能成为链的末尾点的集合。顾名思义，$f[i][S]$ 是 S 的一个子集。

发现不太优美，这个做法是 $n^22^n$，因为我们同一个环用了很多起始点来表示，我们钦定每个环只能以编号最小的点作为起始点。dp 状态改为 $f[S]$ 表示以 S 中最小的点作为起始点，链上有集合 S 中的点时，可能成为链的末尾点的集合。

转移时，对于每个状态，我们枚举下一个往链上添加的点，更新之后的状态，并检查当前状态是否合法（当前链是否能拼接成环，以及基环树是否能标记整个图），合法就跳出来输出答案即可。

题目要求输出方案，比较头痛的一件事，不过也简单。从合法的方案 S 开始，每次取 $f[S]$ 中的任意一点作为末尾点，并从 S 中去除这个点，这样就能把整个环给找出来。

为了节省时间，我们还需要把每个点的相邻点压缩成一个集合，以位运算代替枚举。细节比较多，可以锻炼对状压dp的驾驭能力。

my submission

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本文作者：枫叶晴
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