如何判断无向图是否存在偶环

注：本博客只探索是否存在偶环，不能求出偶环数量，也不能输出偶环包含哪些点。

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网上一搜“图论如何判断偶环”，搜出来的全是“图中是否存在环”，只能说对于大学生来说普及的算法止步于此了，谔谔。

但是只要是接触过一点ACM的同学应该都会判断是否存在奇环，无论是有向图还是无向图，判断奇环只需要二分图染色就行了。

那偶环有什么不一样的？为什么不能二分图染色做？

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如果一张无向图没有偶环，那么自然是二分图染色找不到的，但一张存在偶环的图，二分图染色有可能也找不到，这个和DFS的顺序有关。

如下（是无向图，箭头仅表示遍历方向）：

虽然一眼存在偶数环，但是绿线是我们DFS的顺序，蓝线是用于判断成环的线，通过黄白染色，发现所有成环的线构成的环都是奇数环，也就是没有发现偶数环。

解决方法应该有很多，这里讲一个最简单的判断方法（只适用于无向图，不考虑重边）。

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偶数环的定义有两种：

1、n为偶数，将n个不同的点串起来的环。

2、n为偶数，用n个不同的边串起来的环（允许经过同一个点多次）。

第二种环比第一种环条件要弱，数量要多。

第一种偶环：

判断方式很简单，无向图连通性的所有问题基本都能用圆方树解决，我们构造出一棵圆方树。

结论1：如果一个点双有偶数（>2）个点，那么一定存在偶环。（结论显然）

结论2：如果一个点双有奇数个点，但是边数大于点数，那么一定存在偶环。（因为多出来的任一条边可以把奇环割成一个奇环和一个偶环）

用这两个结论即可判断一个点双是否存在偶环。点双内点数就是方点的度数，边数可以将方点连接的圆点打上标记然后DFS一遍求出。

这里有一道例题：https://codeforces.com/gym/103931/problem/J，但是除了判断偶环以外还有很多恶心的分类讨论，慎做。

第二种偶环：

判断范围从点双变成了边双，点双里的偶环在边双里也一定是偶环，第二种偶环无非是多出来了以下情况：

结论3：一个边双内如果存在割点，那么一定存在第二种偶环。

证明：割点将一个边双分成了两个点双，如果任意一个点双有偶数个点，那么点双内存在偶环，如果两个点双都是奇数个点，那么大环的边数是偶数。

怎么判断边双内是否存在割点呢，非常简单，遍历圆方树内每一个割点（连接至少两个方点的圆点），如果割点连接的方点中，至少有两个不是桥，那么这个割点就是边双内的割点。

将结论3与第一种偶环综合起来，就可以判断是否有第二种偶环了。