CF1909 E,F 题解

这场的题还挺有意思的，DEF都挺有趣。

E：

题意：开关灯问题，一开始全灭，给出按按钮的限制：按了 $x_i$ 必须按 $y_i$ ，最后开着的灯不超过 $\lfloor \frac n5 \rfloor$ 个，输出-1或一种方案。

这题误导人往图论方向去想，谔谔。

看到像 $\lfloor \frac n5 \rfloor$ 这样的奇奇怪怪数字，可以考虑能不能把数据分类讨论。

经典的开关灯问题：有两个重要的性质：

1.如果所有按钮全部按下，那么只有平方数的灯会亮。

2.大按钮不会影响小灯，因此每一种灯的状态一一对应于按钮的状态（扫一遍可求出）。

Solution：

发现给出的限制是按钮按的越多越好，那么全按下肯定满足限制，这时只有平方数的灯会亮，数量是根号级别的，也就是说n比较大时，按钮全按就完事了。我们发现这个临界值是n=20。

特判一个n<5时要输出-1，然后考虑n从5到19。

既然只有这几个n，可以预处理出所有满足开灯上限的按钮状态。因为开着的灯不超过三个，最多也就 $(^{19}_{\ 3})+(^{19}_{\ 2})+(^{19}_{\ 1})=1159$ 个状态，压进vector里。

每个状态遍历那m条限制，复杂度上限是 $1159 * \sum m$ ，感觉过不去？但是由于题意的特殊性，m条限制不可能把所有状态都跑满。所有的状态都是-1的限制，只能是几乎所有的边都要选。

my submission

F:

题意：

Easy version： $p$ 是个打乱的排列， $a_i$ 表示 $p$ 数列第 $i$ 位置之前有多少小于等于 $i$ 的数，现在给出 $a$ 数列，求合法的 $p$ 的方案数。

Hard version：在Easy version基础上，a数列有些位置变成了-1（任意数），求合法的 $p$ 的方案数。

这题是对数形结合的最佳诠释。

ACM中的数形结合，比如说遇到好多区间比大小，可以把区间左端点当x轴，右端点当y轴，每个区间就转化成了一个点，通过二维偏序问题可以求出各个区间的包含关系。

Solution：

这题也是转成二维，把排列的位置转成x轴，该位置的数值转成y轴。因为是排列，所以每行只有一个点，每个位置上也只有一个数，所以每列也只有一个点。如下图，红线表示 $p_i=i$ 。

思考a数列的含义，其实就是 $x\leq i, y\leq i$ 的点的数量，在二维平面上是矩形内点的数量。

造成a数列上升的两个因素：1. $i$ 位置新加入的数字小于 $i$ ；2. 等于 $i$ 的数字在位置 $i$ 前面。分别对应的是下图中第 $i$ 列加入一个点，和第 $i$ 行加入一个点。（蓝色区域）

因为行列不冲突，所以每个蓝色区域最多填入两个点。

因为每种图案对应一个排列p，这题统计方案数的方式就从每个位置能填哪些数，改成了每个蓝框能填哪些位置。

根据a数列上升的来源我们已经知道了，每个蓝框内只能填0,1和2。

如果是零自然不用管。如果是1，那么找一个能填的地方，红线处当然可以填，其他位置只要不跟小矩形内的点冲突就行。在easy version中容易看出，第i个蓝框有 $2*(i-1-a_{i-1})+1$ 种方案。上图中，第5个蓝框有 $2*(5-1-3)+1$ 种方案，“3”对应的是前4个位置已经填了3个点。