P2260 [清华集训2012]模积和
题意：
输入\(n,m\) ，求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m(n\%i)(m\%j),i\neq j\)。答案对 \(19940417\) 取模。
看到了这道题，觉得可做，拿来充博客防止咕咕咕。
开始还在想 \(19940417\) 是什么生日，结果网上搜不着，估计是出题人的生日？
然而这数字还不是个质数，我谔谔毒瘤出题人！
言归正传
由于 \((n\%i)\) 与 \((m\%j)\) 互不影响，可以单独拿出来。变为：
\(Ans = \sum\limits_{i=1}^n(n\%i)\sum\limits_{j=1}^m(m\%j)\)
取模不好算，转化一下就能用整除分块了：\(n\%i=n-\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor *i\)
\(Ans = \sum\limits_{i=1}^n(n-\left\lfloor\frac n i\right\rfloor*i)\sum\limits_{j=1}^m(m-\left\lfloor\frac mj\right\rfloor*j)\)
\(Ans = (n^2-\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\frac ni\right\rfloor *i)(m^2-\sum\limits_{j=1}^m\left\lfloor\frac mj\right\rfloor*j)\)
测一发没过样例？然后一看漏了个条件：\(i\neq j\), 呵~
那么把 \(i=j\) 的减去就可了。（默认 \(n\) 小于 \(m\)）
\(Jian = \sum\limits_{i=1}^n(n-\left\lfloor\frac ni\right\rfloor*i)\times(m-\left\lfloor\frac mi\right\rfloor*i)\)
\(Jian=\sum\limits_{i=1}^nn*m-n*\left\lfloor\frac mi\right\rfloor*i-m*\left\lfloor\frac ni\right\rfloor*i+\left\lfloor\frac ni\right\rfloor\left\lfloor\frac mi\right\rfloor*i^2\)
\(Jian=n*n*m-n*\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\frac mi\right\rfloor *i -m*\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\frac ni\right\rfloor*i+\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\frac ni\right\rfloor\left\lfloor\frac mi\right\rfloor*i^2\)
前三项好办，最后一项有个 \(i^2\) 的前缀和，它等于 \(\frac {n*(n+1)*(2n+1)} 6\)，然后你惊奇地发现它上面爆\(long\ long\)了，没法直接算，于是还得算出 \(6\) 的逆元。
用费小结果又过不了样例了，后来一想这个毒瘤出题人模数竟然不是质数，只好打个exgcd上去。算出来6的逆元其实直接用就行了，没必要在代码里算。
感觉很长很难写？其实发现整除分块的式子都是出现好多次的，记录下答案能缩短码量。
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define QWQ cout<<"QwQ"<<endl;
#define ll long long
using namespace std;
const ll mp=19940417;
ll n,m;
ll ans1,ans2,ans3,ans4;
ll xx,yy,ni;
void exgcd(ll aa,ll bb) {
if(!bb) { xx = 1; yy = 0; return ; }
exgcd(bb,aa%bb);
ll t = xx; xx = yy; yy = t - aa/bb * yy;
}
inline ll he(ll x) { return x * (x+1) %mp * (2*x+1) %mp * ni %mp; }
int main() {
exgcd(6,mp); ni = xx;
cin>>n>>m;
if(n>m) swap(n,m);
for(ll l=1,r; l<=n; l=r+1)
r = n/(n/l), (ans1 += (n/l) * ( ((r+l)*(r-l+1)/2)%mp ) %mp) %= mp;
for(ll l=1,r; l<=m; l=r+1)
r = m/(m/l), (ans2 += (m/l) * ( ((r+l)*(r-l+1)/2)%mp ) %mp) %= mp;
for(ll l=1,r; l<=n; l=r+1)
r = min( m/(m/l), n ), (ans3 += (m/l) * ( ((r+l)*(r-l+1)/2)%mp ) %mp) %= mp;
for(ll l=1,r; l<=n; l=r+1)
r = min( n/(n/l), m/(m/l) ), (ans4 += (n/l) * (m/l) %mp * (he(r)-he(l-1)) %mp) %= mp;
ll tot = (n*n-ans1) %mp * (m*m %mp-ans2) %mp;
ll jian = ((n*n %mp *m %mp + ans4 - m*ans1 %mp - n*ans3 %mp) %mp + mp) %mp;
cout<<(tot-jian+2*mp)%mp;
return 0;
}
我的奇异码风加上鬼畜的取模使得代码很不可读，但其实短的令人舒服~
还有注意一个细节就是计算 \(\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\frac mi\right\rfloor*i\) 的时候分块右边界 \(r\) 不能直接等于 \(m/(m/l)\) ，要与 \(n\) 取个 \(min\)。但估计只有我会犯这种低级错误吧？。。。
