<学习笔记>关于图的理论知识

什么是图|ω･`)

图G是一个有序二元组(V,E)，其中V称为顶集(Vertices Set)，E称为边集(Edges set)，E与V不相交。它们亦可写成V(G)和E(G)。

E的元素都是二元组，用(x,y)表示，其中x,y∈V。 （摘自百度百科）

 

简单来说，图就是由点和边组成的东西。也可以理解为若干个元素之间关系的抽象表示，边即代表着对应顶点之间的相互关系。

图的分类|ω･`)

1.有向图与无向图：

如果我们给图中的每个边规定了方向，即边< x,y >中顶点x和y的顺序不能随便颠倒，那这个图就叫做有向图，反之即为无向图。

2.单图：

一个图如果任意两顶点之间只有一条边（在有向图中为两顶点之间每个方向只有一条边）；边集中不含环，则称为单图。

3.连通图、非连通图与强连通图：

在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。如果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通图，否则，将其中的极大连通子图称为连通分量。在有向图中，如果对于每一对顶点vi和vj，从vi到vj和从vj到vi都有路径，则称该图为强连通图；否则，将其中的极大连通子图称为强连通分量。
*没有环的有向图叫做DAG。

4.简单图与树：

如果对于任意的顶点x和y，最多只有一条边把他们相连，也就是说边集中不含两个或以上的(x,y)，那么图G称为简单图。简单图可以用矩阵表示。
没有环的无向连通图叫做无向树。
如果把一个有向图变为无向图后成为无向树，那么称这个有向图为一棵有向树。
特别的：一个点也叫作一棵树，如果有很多树就叫做森林。
如果有向树中存在一个顶点x使得从x能够到达其余所有顶点，那么有向树G=(V,E)称为根在x的树形图。

有关图的定义|ω･`)

• 阶（Order）： 图G的顶集V的大小（即顶点的数量）。

• 度（Degree）：一个顶点的度是指与该顶点相连的边的条数，顶点v的度记作d(v)。

  *入度和出度：有向图中，一个点的入度为以该点为终点的路径数量，出度为以该点为起点的路径数量。

• 子图（Sub-Graph）：当图G’=(V’,E’) 其中V‘含于V，E’含于E，则G’称作图G=(V,E)的子图。每个图都是本身的子图。
• 生成子图（Spanning Sub-Graph）：如果图g的点集与G的点集相同，g的边集含于G的边集，那么称g为G的生成子图。特别的，如果g为无向树，那么称g为图G的生成树。

• 导出子图（Induced Subgraph）：顶集V1为V的非空子集，以两端点均在V1中的（E中的）全体边为边集的G的子图，称为V1导出的导出子图；边集E1为E的非空子集，以E1中边关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，称为E1导出的导出子图。

  *可知，图G的任何子图，都可以看作是图G的某个导出子图的生成子图。

• 路径（Path）：从u到v的一条路径是指一个序列v0,e1,v1,e2,v2,…ek,vk，（A–1–>B–2–>C…)，其中ei的顶点为vi及vi - 1，k称作路径长度。如果它的起止顶点相同，该路径是“闭”的，反之，则称为“开”的。如果这条路径除了u和w以外其余顶点都各不相等，那么称这条路径为简单路径。

  *路径长度： 一条路径所经过的边的数量。
  *长度：路径中所有边的权值的和（可能为负）。

• 行迹（Trace）：如果路径P(u,v)中的边各不相同，则该路径称为u到v的一条行迹。
• 轨道（Track）：如果路径P(u,v)中的顶点各不相同，则该路径称为u到v的一条轨道。
  *闭的行迹称作回路（Circuit），闭的轨称作圈（Cycle）
• 环：如果一条路径的起点和终点相等，那么这条路径称为环（回路）。
• 自环（Loop）：若一条边的两个顶点为同一顶点，则此边称作自环。
• 桥（Bridge）：若去掉一条边，便会使得整个图不连通，该边称为桥。
• 割点：若去掉一个点，便会使得整个图不连通，则该顶点成为割点。

（参考百度百科）

图的储存|ω･`)

1.列表：开三个数组分别记录每条边的起点，终点和权值。
2.邻接矩阵：f[i][j]=d表示一条从i到j的权值为d的边。
3.邻接表：用链表和结构体存每一条边，并记下每个点连出的边。
4.有向图的十字链表存储表示。
5.无向图的邻接多重表存储表示。

*一个不带权图中若两点不相邻，邻接矩阵相应位置为0，对带权图(网)，相应位置为∞。一个图的邻接矩阵表示是唯一的，但其邻接表表示不唯一。

*在有向图中，通常将边称作弧，含箭头的一端称为弧头，另一端称为弧尾，记作< vi,vj >，它表示从顶点vi到顶点vj有一条边。若有向图中有n个顶点，则最多有n(n-1)条弧，我们又将具有n(n-1)条弧的有向图称作有向完全图。以顶点v为弧尾的弧的数目称作顶点v的出度，以顶点v为弧头的弧的数目称作顶点v的入度。

*在无向图中，边记作(vi,vj)，它蕴涵着存在< vi,vj >和< vj,vi >两条弧。若无向图中有n个顶点，则最多有n(n-1)/2条弧，我们又将具有n(n-1)/2条弧的无向图称作无向完全图。与顶点v相关的边的条数称作顶点v的度。
（摘自百度百科）

图的遍历|ω･`)

深度优先搜索（dfs）和广度优先搜索（bfs）。

树中的边|ω･`)

• 树边指的是从父节点找到子结点所用的边
• 前向边指的是从祖先结点指向其子孙结点的非树边
• 后向边指的是从子孙结点往回指向祖先结点的边
• 横叉边指的是没有祖孙关系的两个结点之间的边，起点的遍历顺序在终点之后。

PS：就先整理这些吧，以后再补充2333ヾﾉ≧∀≦)o