「算法笔记」无向图删边游戏
一、树的删边游戏
给出一棵有根树,两人轮流操作,每人每次可以选择一条边删去,不与根节点相连的部分将被移走。无法操作者输。
结论:叶子节点的 \(\text{SG}\) 值为 \(0\);中间节点的 \(\text{SG}\) 值为它的所有子节点的「\(\text{SG}\) 值加 \(1\)」的异或和。这样就可以推出根节点的 \(\text{SG}\) 值。证明。
二、POJ 3710 Christmas Game
Description
有 \(n\) 个局部连通的图,两人轮流操作,每人每次可以选择一条边删去,不与根节点相连的部分将被移走。无法操作者输。(图是通过从基础树上加一些边得到的,环与环之间无公共边,且只与基础树有一个公共点。)
Solution
与「树的删边游戏」不同的在于图中 出现了环。所以环可以单独考虑。
分析环的性质:环保证不共用边,且只与基础树有一个公共点。因此所有的环都是从树中某一个点连出又连回同一个点的简单环。
- 对于长度为奇数的环,去掉其中任意一条边后,剩下的两个链长度 同奇偶,异或之后的 \(\text{SG}\) 值不可能为奇数,并且可能为 \(0\)。所以进行 \(\text{mex}\) 运算后它的 \(\text{SG}\) 值为 \(1\)。
- 对于长度为奇数的环,去掉其中任意一条边后,剩下的两个链长度 不同奇偶,异或之后的 \(\text{SG}\) 值不可能为 \(0\)。所以进行 \(\text{mex}\) 运算后它的 \(\text{SG}\) 值为 \(0\)。实际上它并没有贡献。
所以可以去掉所有的偶环,将所有的奇环变为长度为 \(1\) 的链,转化为「树的删边游戏」的模型。
算出每一棵树的 \(\text{SG}\) 值,再把所有根节点的 \(\text{SG}\) 值异或起来即可。
具体实现时,不需要做「将所有的奇环变为长度为 \(1\) 的链」的操作,只需考虑奇环的贡献。
#include<cstdio> #define int long long using namespace std; const int N=1e5+5; int t,n,m,x,y,cnt,hd[N],to[N<<1],nxt[N<<1],top,s[N],sg[N],vis[N],ans; //vis=0: 未访问过 vis=1: 访问过且不是某个环上的点(不考虑树上的点) vis=-1: 访问过且是某个环上的点 void add(int x,int y){ to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt; } void dfs(int x,int fa){ s[++top]=x,vis[x]=1,sg[x]=0; bool flag=0; for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){ int y=to[i]; if(y==fa&&!flag){flag=1;continue;} //第一次连向父节点 if(vis[y]==1){ int cnt=1,now=x; while(now!=y) cnt++,vis[now]=-1,now=s[--top]; if(cnt&1) sg[y]^=1; //奇环 } else if(!vis[y]){ dfs(y,x); if(~vis[y]) sg[x]^=(sg[y]+1); //不在环上的才能更新 } } if(~vis[x]) --top; //非环上的,及时出栈 } signed main(){ while(~scanf("%lld",&t)){ ans=0; while(t--){ scanf("%lld%lld",&n,&m),cnt=top=0; for(int i=1;i<=n;i++) hd[i]=vis[i]=0; for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%lld%lld",&x,&y); add(x,y),add(y,x); } dfs(1,0),ans^=sg[1]; //根节点的 SG 值异或起来 } puts(ans?"Sally":"Harry"); } return 0; }
三、图的删边游戏
「POJ3710 Christmas Game」去掉环的限制。即:给定一个无向连通图,有一个点作为图的根。两人轮流操作,每人每次可以从图中选择一条边删去,不与根节点相连的部分将被移走。无法操作者输。
对于这个模型,有一个定理——Fusion Principle。
结论:对无向图做如下改动:将图中的任意一个偶环缩成一个新点,任意一个奇环缩成一个新点加一条新边;所有连到原先环上的边全部改为与新点相连。这样的改动不会影响图的 \(\text{SG}\) 值。
因此可以将任意一个无向图改成树结构。然后就能把「图的删边游戏」转化为「树的删边游戏」了。
四、参考资料
- 《组合游戏略述——浅谈 SG 游戏的若干拓展及变形》(大部分内容摘自这儿)