哈夫曼树的应用

引子

期末考试成绩出来了，具体分数不公布，只公布等级，A,B,C,D,E
老师要根据具体成绩算出每个同学的等级，规则如下
[85, 100]: A;
[70, 85): B;
[60, 70): C;
[0, 60]: D;
完成这种映射，可以用下面这个函数来实现

function rank(score) {
if (score >= 85) return 'A';
else if (score >= 70) return 'B';
else if (score >= 60) return 'C';
else return 'D';
}

这样算是完成了，但是结合实际，我们还有一个条件没利用上，那就是一张合理的试卷，最后结果应该是大多数人中等，高分和低分的人是比较少的。如果我们把第一个if语句的条件改为if(score >= 70 && score <85),那么大多数的成绩只要走一个if，就能够得出结果，统计全部学生等级的时间就会减少。其实，这是一棵普通树转为哈夫曼数的过程。

分析

一开始的程序，如果看成一棵树，那么是这样子的。

而后来的树，是这样子的

那么如何画出第二棵树，即如何决定哪个判定条件在上面呢？光凭感觉还不行，要有实际的数据去支持。
遵从一个原则，让数量越多的结果，走越短的路，比如说等级B，中等成绩的学生数量是比较多的，所以我们希望它能在树的上方。

下面是步骤
首先要知道每个结果的比重，每个结果是一个叶子节点。
把叶子节点按照升序排列，取出前两个，构造成一棵新的树，孩子节点就是刚才取出的两个，树根节点的比重是孩子节点比重之和，用这个新的根节点取代刚才的两个孩子节点，与剩下的节点升序排列，重复直到没有叶子节点。

上面这个例子其实还不是哈夫曼树的最佳应用，把原先的树转化为哈夫曼树，是有缺点的，虽然走的分支少了，但是判定条件变复杂了。
还有另外的应用，为利用哈夫曼树把字符编码为二进制。
假设一篇文章里只有ABCDEFGH这八个字母，为了传输这篇文章，要把它转化为二进制。
容易想到，八个字母，是2的3次方，用三位二进制数就可以表示这八个字母了，而解析的时候，只要按照每3位去解析，就可以还原了。按照这种编码方式（以下称为等长编码），这篇文章编码后的总长度会变为原来字母数量的3倍。要知道，长度越长，传输时间就越长，有没有办法去减少编码后的总长度呢？试想一下一种稍微极端的情况，如果这篇文章中，字母A占据了大多数，如果按照刚才的方法，那么总长度还是不变，如果换一种方法，用0表示A，其他的还是三位，那么显然总长度会变小，把这种想法具体化，就是哈夫曼树了。先统计好每个字母出现的次数，算出每个字母的比重，然后构造哈夫曼树。对每个分支，都左边的设置为0，右边的设置为1，从根结点到叶子节点，走过的分支编号序列，就是该节点对应字符的编码了。假设统计出来的结果是
A: 40%,B: 20%,C: 10%,D: 10%;E: 5%F:5%;G: 5%H: 5%
那么构造出来的哈夫曼树是这样子的（结果不唯一）

各个字符的编码（编码表）
A：0
B：100
C：1010
D：1011
E： 1100
F： 1101
G：1110
H： 1111
如果总共有100个字母，那么用一开始的等长编码方式，长度是300
用哈夫曼编码，最后的长度是 40*1 + 20*3 + 10 * 4 + 10 * 4 + （5 * 4）*4 = 260
（300 - 260）/300 = 0.1333 即便是后面的一些字母用4位，最后的长度还是比原来减少了13%。

字母的编码长度不同，如何去解析呢？实际上，这种编码是前缀码，从左到右扫描编码后的字符串，如果是0，那么该字符就是A，如果是1，那么得继续，直到得到一个在编码表中的编码。

结语
要充分地去发掘数据隐含的信息，等长编码的方法因为没有利用字符百分比的信息，所以效果不如哈夫曼编码

参考：大话数据结构