洛谷OJ P1045 麦森数 解题报告

洛谷OJ P1045 麦森数 解题报告

by MedalPluS

  题目描述

  形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
　　任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

  输入描述

  文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）

  输出描述
  第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。
  第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2^P-1与P是否为素数。

  分析

  首先2^p-1的位数可以通过换底公式得到，即log₁₀2^p+1 通过换底公式可以转换为log₂/log₁₀*p+1

  然后就是高精度的过程

  但注意，直接模拟的话会TLE，想一想为什么？因为直接模拟的复杂度应为500*500*3100000简直就是天文数字。。

  那么怎么优化呢？

  1.FFT优化高精度乘法，即降至500*8*3100000还是有TLE的风险

  2.快速幂优化求幂，即降至500*8*19完全可以无压力AC

  加上FFT代码太长，这里不贴了。。但不过只用快速幂是可以AC的

  代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn=50001;

//求2^p-1 高精度乘法&高-单 &快速幂 

int ans[maxn],a[maxn],p;
int test1[maxn],test2[maxn];
int c[maxn];

void mult(int a[],int b[]){
    int len,i,j,tmp,k=0;
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(i=1;i<=a[0];i++){
      for(j=1;j<=b[0];j++)
      {
          tmp=a[i]*b[j]+k;
          c[i+j-1]+=tmp%10;
          k=tmp/10+c[i+j-1]/10;
          c[i+j-1]%=10;
      }
      len=i+j-2;
      while(k!=0)
      {
        c[++len]+=k%10;
        k=k/10+c[len]/10;
        c[len]%=10;
      }
    }
    c[0]=min(len,500);
    for(i=500;i>=0;i--)
      a[i]=c[i];
}

void qmult(){
    ans[ans[0]=1]=1;
    a[a[0]=1]=2;
    while(p){
        if(p&1)mult(ans,a);
        p>>=1;
        mult(a,a);
    }
}

void dele(){
    int i=1;
    while(1){
        if(ans[i]-1>=0)
        {
          ans[i]--;
          break;
        }
        ans[i]=(ans[i]+9)%9;
        i++;
    }
}

void out(){
    int i,t=0;
    for(i=500;i>=1;i--){
        cout<<ans[i];
        t++;
        if(t%50==0)cout<<endl;
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&p);
    cout<<(int)(log(2)/log(10)*p+1)<<endl;
    qmult();
    dele();
    out();
    return 0;
}