【清北学堂2018-刷题冲刺】Contest 8

Task 1:关联点

【问题描述】

 ⼆叉树是⼀种常用的数据结构,⼀个⼆叉树或者为空,或者由根节点、左⼦树、右⼦树构成,其中左⼦树和右⼦树都是⼆叉树. 每个节点a 可以存储⼀个值val.

 显然,如果⼀个点a 的左⼦树或右⼦树内有⼀个点b,那么存在唯⼀的路径从a 出发,每次往左⼦树或右⼦树⾛,经过⼀系列节点访问到b. 我们把从a 到b 经过除a 以外的节点数称为节点a 到节点b 的距离.

 对于⼀个点a,定义:

 若点\(b\)\(a\) 的左⼦树中,且\(a\)\(b\) 的距离为\(v[b]\),则称\(b\)\(a\) 的左关联点;

 若点\(b\)\(a\) 的右⼦树中,且\(a\)\(b\) 的距离为\(v[b]\),则称\(b\)\(a\) 的右关联点.

 给定⼀个共有\(n\) 个节点的⼆叉树,所有节点编号为\(1, 2, ...,n,\)其中1 为根节点. 给出每个节点\(a\) 存储的值\(v[a]\),请输出每个节点的左关联点个数和右关联点个数.

【输入格式】

 输⼊⽂件名为\(node.in\)

 第⼀⾏⼀个正整数\(n\),表示⼆叉树的总节点数.

 第⼆⾏\(n\) 个由空格分隔的正整数\(v1,v2,..., vn\)\(i\) 个数\(vi\) 表示节点\(i\) 存储的值.

 接下来\(n\) ⾏,第\(i\) ⾏为两个由空格分隔的整数,分别表示编号为\(i\) 的左⼦树的根节点(若左⼦树为空则为0)和右⼦树的根节点(若右⼦树为空则为0).

【输出格式】

 输出⽂件名为\(node.out\)

 输出\(n\) ⾏,第\(i\) ⾏为两个整数,分别表示点\(i\) 的左关联点个数和右关联点个数.

node.in node.out
5 2 0
2 1 3 2 1 0 1
2 3 0 0
4 5 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0

【样例说明】

 节点1 的左关联点有2 个:2 和4,没有右关联点.

 节点2 没有左关联点,右关联点有1 个:5.

 除此之外,其它节点没有关联点.

【数据规模与约定】

  • 对于30% 的数据,\(n <= 3\).
  • 对于60% 的数据,\(n <= 500\).
  • 对于100% 的数据,\(n <= 200000,1 <= vi <= 200000\),根节点1 到任意节点的距离不超过100000.

 题目本身不难理解,这里给出四种写法思路:

  • 暴力O(n^2)(60pts),直接模拟某个点\(u\)向上找\(val[ u ]\)的节点,记录答案
  • 倍增O(nlogn),暴力基础上的优化,以更快的速度向上寻找节点记录答案
  • 堆O(nlogn),在向下搜索的时候把该节点对应的父节点扔进堆里维护,按dfn排序,到达时退栈即可
  • 栈O(n),由于搜索本身就是入栈退栈的过程,只需要搜索同时维护一个栈就可以O(1)找到答案。

 本蒻的代码里写的是第三种。后三种代码都是可以AC的,但栈的写法才是最优秀的。比较简单不做赘述。

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 200010
using namespace std;
int n,arr[MAXN],ans_1[MAXN],ans_2[MAXN],dfn[MAXN];
struct Node{int ls,rs,fa;}node[MAXN];
struct Rec{
    int deep;
    bool operator<(const Rec &rhs)const{
        return deep<rhs.deep;//get deeper first
    }
};
priority_queue<Rec>que;
void pre(int u,int deep){
    dfn[u]=deep;
    if(node[u].ls!=0)pre(node[u].ls,deep+1);
    if(node[u].rs!=0)pre(node[u].rs,deep+1);
}
void dfs(int u){
    if(node[u].ls!=0)dfs(node[u].ls);
    if(node[u].rs!=0)dfs(node[u].rs);
    //backstack;
    que.push((Rec){dfn[u]-arr[u]});
//  printf("nod=%d deep=%d dfn=%d\n",u,que.top().deep,dfn[u]);
    while(que.top().deep==dfn[u]-1&&!que.empty()){
        if(u==node[node[u].fa].ls){
//          printf("l:fa=%d\n",node[u].fa);
            ans_1[node[u].fa]++;
        }else{
//          printf("r:fa=%d\n",node[u].fa);
            ans_2[node[u].fa]++;
        }
        que.pop();
    }
}
int main(){
    freopen("node.in","r",stdin);
    freopen("node.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    memset(node,0,sizeof(node));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&arr[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&node[i].ls);
        scanf("%d",&node[i].rs);
        node[node[i].ls].fa=i;
        node[node[i].rs].fa=i;//record father 
    }
    pre(1,0);
    dfs(1);
//  for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",dfn[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        printf("%d %d\n",ans_1[i],ans_2[i]);
    }
}

Task 2:小奇的日程表

【问题描述】

 放暑假了,小奇准备了⼀个日程表来安排他的暑假⽣活.

 ⼀共有n 件事情,编号为\(1,2......n\),第\(i\) 件事情的难度为\(i\). 小奇将整个暑假划分为m 个时刻,并设定了三个正整数\(a,b,c.\) 然后,小奇定义了⼀个数列\({ xi }\),满⾜:

  $x[0] = 0 $

  \(x [i] = (a x[ i - 1 ] + b) \% 2nc (1 <= i <= m)\)

 即从x1 开始,数列的每⼀项等于上⼀项的a 倍加上b 以后除以2nc 的余数.

 在暑假刚开始时,小奇的日程表是空的. 第i 个时刻前,小奇会根据xi 的值决定日程表的变化:

 若\(xi < nc\),则将编号为$⌊ xi / c ⌋ + 1 $的事件加⼊日程表,若日程表已有该事件则忽略;

 若\(xi >= nc\),则将编号为$⌊ xi / c ⌋ - n + 1 $的事件从日程表删除,若日程表没有该事件则忽略;

 第i 个时刻\((1 <= i <= m)\),小奇所做的事情就是该时刻日程表中的所有事件.

 对于每个时刻,小奇定义该时刻的⼯作量为该时刻做了⼏件事情,该时刻的疲劳度为该时刻做的所有事情的难度之和. 整个暑假小奇的⼯作量为所有时刻的⼯作量之和,疲劳度为所有时刻的疲劳度之和.

 请根据$n,m,a,b,c $计算小奇这个暑假的⼯作量和疲劳度.

【输入格式】

 输⼊⽂件名为\(schedule.in\)

 输⼊⼀⾏,五个由空格分隔的正整数\(n,m,a,b,c\)

【输出格式】

 输出⽂件名为\(schedule.out\)

 ⼀⾏两个由空格分隔的整数,第⼀个数为小奇这个暑假的⼯作量,第⼆个数为小奇这个暑假的疲劳度.

 由于答案可能很⼤,请输出答案除以1000000007 的余数.

【样例输入1】
​ 3 6 4 1 5
【样例输出1】
​ 8 13
【样例输入2】
​ 431942 2000000 324635 9496472 24439
【样例输出2】
​ 879995658 63186390

【样例1 说明】

 由\(x0 = 0,xi = (4x[ i - 1 ] + 1) mod 30(1 <= i <= 6)\)

 可推得\(x1 = 1,x2 = 5,x3 = 21,x4 = 25,x5 = 11,x6 = 15\).

 第1 个时刻,日程表加⼊事件1,该时刻的事件有{ 1 },⼯作量为1,疲劳度为1.

 第2 个时刻,日程表加⼊事件2,该时刻的事件有{ 1,2 },⼯作量为2,疲劳度为1 + 2 = 3.

 第3 个时刻,日程表删除事件2,该时刻的事件有{ 1 },⼯作量为1,疲劳度为1.

 第4 个时刻,日程表删除事件3,该时刻的事件有{ 1 },⼯作量为1,疲劳度为1.

 第5 个时刻,日程表加⼊事件3,该时刻的事件有{ 1,3 },⼯作量为2,疲劳度为1 + 3 = 4.

 第6 个时刻,日程表删除事件1,该时刻的事件有{ 3 },⼯作量为1,疲劳度为3.

 因此总⼯作量为1+2+1+1+2+1 = 8,总疲劳度为1+3+1+1+4+3 = 13.

【数据规模与约定】

  • \(对于40\% 的数据,n,m <= 10^3.\)
  • \(对于60\% 的数据,n,m <= 10^5.\)
  • \(另外有20\% 的数据,保证所有删除均可忽略.\)
  • \(对于100\% 的数据,n <= 5*10^7,m <= 2*10^6,a <= 10^6,b <= 10^9,c <= 5*10^4.\)

 语文题,不用动脑子,动脑子会绕弯,题目让干啥你就干啥就可以了。

 有些人想的是用set来存储,但仔细观察会发现实际上只需要一个bool数组就可以了,还不会爆空间,多好啊。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXM 2000010
#define MAXN 50000010
#define lint long long
using namespace std;
lint n,m,a,b,c,ans_1,ans_2,sum_1,sum_2,arr[MAXM],f[MAXM];
bool vis[MAXN];
int main(){
	freopen("schedule.in","r",stdin);
	freopen("schedule.out","w",stdout);
	cin>>n>>m>>a>>b>>c;
	const lint modd=n*c*2,cmp=n*c;
	for(register int i=1;i<=m;++i){
		f[i]=(a*f[i-1]+b)%modd;
		if(f[i]<cmp){
			int todo=f[i]/c+1;
			if(!vis[todo]){
				vis[todo]=true;
				sum_1+=1;
				sum_2+=todo;
			}
		}else{
			int todo=f[i]/c-n+1;
			if(vis[todo]){
				vis[todo]=false;
				sum_1-=1;
				sum_2-=todo;
			}
		}
		ans_1=(ans_1+sum_1)%1000000007;
		ans_2=(ans_2+sum_2)%1000000007;
	}
	printf("%lld %lld",ans_1,ans_2);
}

Task 3:送分题

【问题描述】

 给定⼀棵N 个节点的树,每个节点上有⼀个权值。

 你要从中选出⼀些点使得权值和最⼤,任意2 个选出的节点之间的距离都要⼤于K。

【输入格式】

 输⼊⽂件名为score.in

 第⼀⾏两个整数\(N,K\)

 接下来⼀⾏\(N\) 个整数,表示第\(i\) 个节点的权值

 接下来\(N - 1\) ⾏,每⾏2 个数\(a,b\),表示点\(a\)和点\(b\) 之间有边相连

【输出格式】

输出⽂件名为\(score.out\)

输出⼀⾏,表示最⼤的权值和。

【样例输入1】
​ 3 1
​ 1 1 1
​ 1 2
​ 1 3
【样例输出1】
​ 2
【样例输入2】
​ 3 2
​ 1 1 1
​ 1 2
​ 1 3
【样例输出2】
​ 1

【数据范围】

\(n∈[1,10000],k∈[1,100]\)

 这是一道送命题。

 状态可以很容易就想到:设\(f[ u ][ j ]\)为当前位于点\(u\),子树里最近的选中节点离自身距离大于等于\(j\)

 但是状态的转移设计起来就相当麻烦,或者说,说起来容易写起来难。思路如下:

  • 对于\(j*2>k\)的时候,我们可以随便选着转移。(直接累加求\(max\)即可)

  • 对于\(j*2<=k\)的时候,我们需要这样考虑:

    • 选出一个点距离为\(j\)
    • 其它点的距离都应该大于\(k-j\)
    • 显然除了有一个点距离为j,其它点距离都是k-j
    • 考虑预先累加求一定距离时的权值和,需要开一个辅助数组tmp
    • 转移结束后需要维护一下后缀最大值,让f[ u ][ j ]是子树点离u点距离>=j的最大权值
    • 其余的就是常规的树上DP了

 不写一遍你不会知道这个看起来简单的思路写起来有多难受,至少状态转移方程的推导真的让人无从下手。思路我最开始都能想出来,但是实现不了。结果看题解的代码,完全就是有机会要上,没机会创造机会也要硬上。。我果然还是Naive啊。。

​ Code:代码里注释很清晰

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 10010
int n,dis,cnt,tmp[110],v[MAXN],g[MAXN][110],head[MAXN];
struct edge{
    int nxt;
    int to;
}e[MAXN<<1];

inline void add(int from,int to){
    e[++cnt].nxt=head[from];
    e[cnt].to=to;
    head[from]=cnt;
} 
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}

void dfs(int u,int fa){
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v!=fa){
            dfs(v,u);
        }
    }//先到叶节点,回溯处理
    memset(tmp,0,sizeof(tmp));//提前清空辅助数组 
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to; 
        g[u][0]+=g[v][dis-1];
    }
    g[u][0]+=v[u];
    //选中本身的操作和其它点的距离dis对应 
    tmp[0]=g[u][0];
    for(int k=0;k<=dis;++k){    
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            tmp[k+1]+=g[v][k];
        }//tmp辅助存储到子树距离为[0,dis]情况的权值和 
    }

    for(int j=0;j<=dis;++j){
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(dis>=(j<<1)){
                g[u][j]=max(g[u][j],tmp[dis-j]-g[v][dis-j-1]+g[v][j-1]);
            }//若j不足以直接多次选择,本次点又要考虑选距离为j的情况 
            //就通过这种方法选择 
        }
        if((j<<1)>=dis){
            g[u][j]=max(g[u][j],tmp[j]);
        }//反之,如果可以直接处理,事情就变得相当简单。 
    }
    for(int j=dis;j>=0;j--){
        g[u][j]=max(g[u][j],g[u][j+1]);
    }//维护一个后缀最大值 
}
int main(){
    freopen("score.in","r",stdin);
    freopen("score.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&dis);dis++;//输入时把dis+1便于计算 
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&v[i]);//输入每个点的权值 
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);//建边 
        add(v,u);
    }
    dfs(1,0);//基于dfs的树上DP 
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=dis;++i){
        ans=max(ans,g[1][i]);//获取答案 
    }
    printf("%d\n",ans);
}
posted @ 2018-10-15 16:50  maomao9173  阅读(607)  评论(0编辑  收藏  举报