【清北学堂2018-刷题冲刺】Contest 5

 这三个题写了一天半，第一个题写了大概一整天。出题人劝我从后往前写，我不听，结果T1想了+调了一天QWQWQ

Task 1：序列

【问题描述】

 定义一个“好的序列”为一个长度为M的不下降序列，且序列中的元素均为1-N的正整数。现在我们随机生成一个“好的序列”，每个不同的“好的序列”出现的概率相同，求这个序列中众数的出现次数的期望。

【输入】

 输入文件含有多组数据

 每组数据读入一行两个整数M、N。

【输出】

 对于每组测试数据，输出一行一个实数表示答案，精确到小数点后4位。

【输入输出样例】

 1 5
 2 9
 3 3

 1.0000
 1.2000
 2.2000

【样例解释】

 令x表示序列中众数的出现次数。

 当M = 3，N = 3时可能的序列有：

• 1 1 1(x=3) 1 1 2(x=2) 1 1 3(x=2)

• 1 2 2(x=2) 1 2 3(x=1) 1 3 3(x=2)

• 2 2 2(x=3) 2 2 3(x=2) 2 3 3(x=2)

• 3 3 3(x=3)

 因此x的期望为2.2。

【数据范围】

 1 ≤ M≤ 250，1 ≤ N ≤ 10^9

 每个点的总数据组数不会超过15组。

【提示】

• 题目难度与题目顺序无关。

• 请注意精度问题。

 关键难点在于如何构建状态。

 这里我们设sum[ k ][ i ][ j ]为众数个数为[ 1 , k ]，数列长度为i，选用元素为j的情况数量之和。

 这样设定的好处，看下面很快就会明白：

• 对于数列本身，我们有这样的划分：
  • 对于某个特定长度的数列，我们考虑把它离散化处理。
    成多块，每块由相同元素组成，一共ki[ 1 , m ]块。
    • 在n个元素中选出k个填入这些块中，离散化的结果和数列本身效果一致，根据乘法原理，直接把可以选的个数C（n,k）与最终答案对应相乘即可。
      • 为了处理答案，我们维护一个前缀和：众数个数<=k的情况下序列总个数的和
      • 为什么维护前缀和而不是单独求本身某一个？因为求和制约条件更宽松，容易推导和判断。

​

更新时，累加前面两种情况：

• 上一个选择的元素是最新的元素

• 上一个选择的元素不是最新元素

需要判重的情况：

• 众数个数超过k个的话。

• 如果同一个元素在这里累积了k+1次，就应该去掉。

 所以转移方程就可以得到了：

sum[ k ][ i ][ j ]=sum[ k ][ i - 1 ][ j - 1 ]+sum[ k ][ i - 1 ][ j ]; 
if( k < i )sum[ k ][ i ][ j ]-=sum[ k ][ i - k - 1 ][ j - 1 ];        

 为了保证答案精度，这里使用long double。

 组合数的计算：这里我选择线性递推法.

 由于数据有15组之多，我们选择先进行不同长度情况的预处理，对于不同的可选元素个数只需要搞个组合数上去就可以了。

 复杂度：O（n^3）

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int T,m,n;
long double C[255],sum[255][255][255],f[255][255][255],g[255];

int main(){
    freopen("sequence.in","r",stdin);
    freopen("sequence.out","w",stdout);
    C[0]=true;
    for(register int k=1;k<=251;++k){
        sum[k][0][0]=1;
        for(register int i=1;i<=251;++i){
            for(register int j=1;j<=i;++j){
                //i->序列长度 j->总共使用的元素个数 k->众数的个数
                //sum存储的就是在当前的众数个数的情况下，可以构造出来的序列个数。
                //由于是一步一步递推得到，可以直接适用于所有m∈[1,251]的情况。 
                sum[k][i][j]=sum[k][i-1][j-1]+sum[k][i-1][j];
                //这里维护的是一个前缀和：求的是众数个数为k情况下序列总个数的和 
                //更新时，累加前面两种情况： 
                    //->上一个选择的元素是最新的元素
                    //->上一个选择的元素不是最新元素 
                if(k<i){
                    sum[k][i][j]-=sum[k][i-k-1][j-1]; 
                    //需要判重的情况：众数个数超过k个的话。 
                    //等效于->如果同一个元素在这里累积了k+1次，就应该去掉。 
                } 
            }               
        }
    }
    while(cin>>m>>n){
        memset(g,0,sizeof(g)); 
        for(register int i=1;i<=m;++i){
            C[i]=C[i-1]*(n-i+1)/i;
        }//O(m)递推求组合数 
        for(register int k=1;k<=m;++k){
            for(register int j=1;j<=m;++j){
                g[k]+=sum[k][m][j]*C[j];
            }//计数求和。 
        }
        long double ans=0;
        //g表示的是总共可能出现的情况种类数，是累加 
        for(register int k=1;k<=m;++k){
            ans+=k*(g[k]-g[k-1])/g[m];
        } //给出答案 
        printf("%.4Lf\n",(double)ans);
    }
    return 0;
}

 T1相当有难度，但T2T3都是大水题。

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Task 2：游戏

【问题描述】

 小H喜欢玩游戏。她会首先选择一个数𝐻0>2，并在每一轮游戏中修改它。在第i轮游戏中，小H会选择一个质数p<𝐻𝑖−1，并令𝐻𝑖为最小的p的倍数且大于等于𝐻𝑖−1。

 现在已知𝐻2，求最小的可能的𝐻0。

【输入】

 一行一个整数表示𝐻2。

【输出】

 一行一个整数表示答案。

【输入输出样例】

in： 20

out：15

【数据范围】

• 4 ≤ 𝐻2 ≤ 10^6

• 对于100%的数据：保证𝐻2不是质数。

 题面有点绕，其他都还好。

 直接模拟：

• 对H2分解质因数
• 求这个质因数P2和H2对应范围内的合数H1（线性筛预处理）
• 对每个H1找到它的最大质因数，直奔最优解（稍做优化复杂度O（√n））
• 没了，用queue可以简化代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 1000010
using namespace std;
int H_2,cnt,ans=MAXN,prime[MAXN];
bool vis[MAXN];
void Get_Prime(int n){
	vis[1]=true;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}
int main(){
	freopen("game.in","r",stdin);
	freopen("game.out","w",stdout);
	scanf("%d",&H_2);
	Get_Prime(H_2);
	//Get Prime List
	queue<int>Prime2;
	int tmp_H2=H_2;
	for(int i=1;i<=cnt;++i){
		if(tmp_H2==1)break;
		if(tmp_H2%prime[i]==0){
			while(tmp_H2%prime[i]==0){	
				tmp_H2/=prime[i];
			}
			Prime2.push(prime[i]);
		}
	}
	queue<int>HH1;
	while(!Prime2.empty()){
		int tmp=Prime2.front();
		Prime2.pop();
		for(int i=H_2-tmp+1;i<=H_2;++i){
			if(vis[i]){
				HH1.push(i);
			}
		} 
	}
	while(!HH1.empty()){
		int tmp=HH1.front();
		HH1.pop();
		int tt=tmp;
		for(int i=1;i<=cnt;++i){
			while(tt%prime[i]==0){
				tt/=prime[i];
			}
			if(tt==1){//tt除完了 
				ans=min(ans,tmp-prime[i]+1);
				break;
			}
			if(!vis[tt]){//tt已经是素数 
				ans=min(ans,tmp-tt+1);
				break;
			} 
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

---

Task 3：棋盘

【问题描述】

 小H和小C在一张n*m的黑白棋盘上下棋。他们轮流进行操作。小H先手。每一次可以选择一个黑色的格子，以这个格子为右下角，棋盘左上角为左上角，将这个矩阵的所有格子的颜色由黑变成白，由白变成黑。找不到一个黑色的格子的人输。不同寻常的是，由于小H和小C是很好的朋友，小H想尽可能的让小C取胜。而小C是个好胜的人，他想尽可能的让自己取胜。那么在此基础上，小H先手，谁能赢呢。

【输入】

 第一行一个整数T，表示有T组数据。

 每组数据第一行两个整数n、m，表示棋盘的大小。接下来n行每行m个字符B（黑色）或者W（白色）表示每个格子的颜色。

【输出】

 对于每组的每个询问，输出一行，“H”或者“C”(不含引号)。表示他会赢。

【输入输出样例】

chess.in：
​ 3 2 2
​ BW
​ WW
​ 2 2
​ WW
​ WW
​ 2 2
​ WB
​ BW
chess.out：

​ H
​ C
​ C

【数据范围】

• 1 ≤ n，m ≤ 100

• 对于100%的数据：1 ≤ T ≤ 100。

 结论题。

• 小H只要不想赢他就不会赢（每次都不选必胜情况）
• 但是存在这样一种情况，小C会绝对赢不了的状态：
  • 对于左上角的棋子，它每次都会被选中。
  • 如果它是B，那么不管变多少次小C都无法掌控它，因为小C无法通过它结束游戏。

 只要小C绝对赢不了那就是小H必胜了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
char ch[110][110];
int main(){
	freopen("chess.in","r",stdin);
	freopen("chess.out","w",stdout);
	int T,n,m;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
//		memset(ch,0,sizeof(ch));
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(register int i=1;i<=n;++i){
			for(register int j=1;j<=m;++j){
				do{
					ch[i][j]=getchar();
				}while(ch[i][j]==' '||ch[i][j]=='\n');
				
			}
		} 
		if(ch[1][1]=='B'){
			puts("H");
		}else{
			puts("C");
		}
	}
	return 0;
}