exgcd证明和最基础应用
如何求解这个方程：\(ax + by = gcd (a, b)\)？
\(∵gcd(a, b) = gcd (b, a \% b)\)
\(∴\)易证 $ gcd(a, b)$ 总是可以化为 \(gcd (a',0)\)的形式
对于原方程\(a'*x + 0*y = gcd (a',0)\) （根据定义\(gcd(a',0) = a'\)）
存在解为\({x=1,y=0}\)
设$gcd(a_1,b_1) \(为当前的\)gcd\(，\)gcd(a_2,b_2)\(为向下迭代后的\)gcd$
\({x1,y1}\)是当前解，\({x2,y2}\)是下一次\(gcd\)的解
$$a_1x_1 + b_1y_1 = gcd(a_1,b_1)$$
$$=gcd (a_2,b_2)$$
$$= gcd(b_1,a_1%b_1)$$
$$ = b_1*x2 + a_1 % b_1 *y2$$
由于\(a\%x = a-x*(a/x)\)
原式可以化简为：
$$a_1x_1 +b_1y_1 = b_1x_2+(a_1-(a_1/b_1)b_1)*y_2$$
$$a_1x_1 +b_1y_1 = a_1y_2+b_1x_2-(a_1/b_1)b_1y_2$$
$$a_1x_1 +b_1y_1 = a_1y_2+b_1(x_2-(a_1/b_1)*y_2)$$
我们已知下一次迭代得到的解\(x_2,y_2\)和\(a_1,b_1\)（边界为最终解\({x=1,y=0 }\)）
那么就可以据此，系数对应，求出当前解：
$$x_1=y_2,y_1=x_2-(a_1/b_1)*y_2$$
经过层层迭代，就可以得到最终解。
代码：
int exgcd (int a1, int b1, int &x2, int &y2) {
//传址引用修改x2, y2
if (b1 == 0) {
x2 = 1, y2 = 0;
return a1;//边界情况
}
int div = exgcd (b1, a1 % b1, x2, y2);//向下递归
int x1 = y2, y1 = x2 - y2 * (a1 / b1);
return div;//返回约数 (可能没啥用QwQ关键求的是方程解)
}
