快速入门Treap（代码实现）

学习数据结构对我来说真的相当困难，网上讲$Treap$的我也看不太懂，前前后后花了大概六天才把$Treap$学会。为了避免再次忘记，这里我整理一下$Treap$的基础知识和模板。

阅读此文前，你需要知道：

• $Treap$的基本原理

• 二叉查找树的性质

第一次接触$Treap$的同学请移步Treap的学习总结，本文着重强调代码实现和细节问题。

本文无指针，码风比较清新，请放心食用。

0.变量定义

$：t：Treap\_node${

• $rd$：随机产生的优先级

• $sz$：子树大小

• $ch$：$0$代表左子节点，$1$代表右子节点。

• $key$：键值（实际值大小）

• $cnt$：当前键值节点个数

}

• $tot$：结点个数

• $root$：根节点

1.操作类型

• $rotate$ - 旋转

  • 分为左旋和右旋两种，可以传一个方向的参数，把它们合成一种。

  • 流程：（这里以右旋为例）

    • 节点：$p$点（传址引用）， $p$的左子节点$ls$

    • 把$ls$的右子树接在$p$点上

    • $ls$的右子节点变为$p$

    • 更新两个节点大小

    • 把连向$p$的边引向$ls$（$p = ls$）

  • Q：为什么对$p$点传址引用？

    • A：在插入/删除点的时候同样采用了传址引用。节点$Fa$搜索过程中到达它的子节点$p$时，$Fa$对$p$点的指针$t[Fa].ch[dir]$会同时被传出，从而使$rotate$直接修改$Fa$和$p$的连接状况。

  • Q：为什么把$ls$的右子树接在$p$点上？

    • A：为了维护二叉搜索树的性质，在任意一棵子树中，你要保证左子树>根节点>右子树。$ls$本身所连接的右子树是合法的，根据旋转前的定义，$ls$的右子树键值<$p$点键值。为了维护旋转后$Treap$二叉的性质，我们选择把这一棵子树改接到$p$点上去。

  • 关于传入的$dir$参数怎么玩，可以自己画图琢磨一下。

  • 注意两个节点大小的更新顺序。

    void rotate (int &p, int dir) {
        //dir = 0 / 1 -> 右旋 / 左旋
     	int s = t[p].ch[dir ^ 0];
        t[p].ch[dir ^ 0] = t[s].ch[dir ^ 1];
        t[s].ch[dir ^ 1] = p;
        push_up (p);
        push_up (s);
        p = s;
    }

• $Insert$ - 插入

  • 没有就加入，有就累加计数器。

  • 流程：

    • 判断与子节点的大小关系，大了向左，小了向右

    • 一路上对每个经过节点增加子树大小

    • 如果有键值相等的点，就直接累加计数器

    • 如果没有（在向子树查找过程中走到编号为$0$的子树）

      • 新建节点，初始化相关数据。

    • 注意传址引用

  • 程序里用了一点小$Trick$来记录方向，简化代码。

  • Q：这里传址引用还有什么作用？

    • A：改变连接情况的作用见上一个操作，还有一个用处是初始化根节点。每次插入都从根节点开始。如果还没有点的话，新建的节点会直接覆盖传入的根节点的地址而成为根节点。

void Insert (int &p, int key) {
    if (p == 0) {
        p = ++tot;
        t[p].sz = 1;
        t[p].cnt = 1;
        t[p].key = key;
        t[p].rd = rand ();
        return;
    }
    ++t[p].sz;
    if (t[p].key == key) {
        ++t[p].cnt;
    } else {
        int dir = key > t[p].key;
        Insert (t[p].ch[dir], key);
        if (t[p].rd > t[t[p].ch[dir]].rd) {
            rotate (p, dir);
        }
    }
}

• $Delete$ - 删除

  • 流程：

    • 判断与子节点的大小关系，大了向左，小了向右

    • 一路上对每个经过节点减少子树大小

    • 如果有键值相等的点

      • 如果该点个数$>1$

        • 直接减少点数

      • 如果点的个数$=1$

        • 把当前节点不断向下旋转

        • 为了保持优先级，总是把优先级更高($rd$更小)的转上来

        • 如果这个点只剩$<=1$棵子树（$t[p].ch[0] * t[p].ch[1] == 0$），那么就可以把它删掉，把它还剩的那个子节点提上来。（$p = t[p].ch[0] + t[p].ch[1];$）

void Delete (int &p, int key) {
    if (p == 0) {
        return;
    }
    if (t[p].key == key) {
        if (t[p].cnt > 1) {
            --t[p].sz;
            --t[p].cnt;
        } else {
            if (t[p].ch[0] * t[p].ch[1] == 0) {
                //分支 < 2 
                p = t[p].ch[0] + t[p].ch[1];  
            } else {
                if (t[p].ch[0] < t[p].ch[1]) {
                    rotate (p, 0);
                } else {
                    rotate (p, 1);
                }
                Delete (p, key);
            }
        }
    } else {
        --t[p].sz;
        Delete (t[p].ch[key > t[p].key], key);
    }
}

• $nxt/pre$ - 查找前驱/后继

  • 也就是第一个比查找键值大/小的数

  • 这里以$nxt$为例

  • 流程：

    • 查找的键值小于当前所在节点的键值：

      • 向左走，看还有没有更小一点的值

      • 防止玩脱，先记答案

    • 否则直接向右走（一定不可能是后继）

  • 这里本蒻使用非递归版

int pre (int key) {
    int p = root, ans = 0;
    while (p != 0) {
        if (t[p].key < key) {
            ans = t[p].key;
            p = t[p].ch[1];
        } else {
            p = t[p].ch[0];
        }
    }
    return ans;
}

int nxt (int key) {
    int p = root, ans = 0;
    while (p != 0) {
        if (t[p].key > key) {
            ans = t[p].key;
            p = t[p].ch[0];
        } else {
            p = t[p].ch[1];
        }
    }
    return ans;
}

• $kth$ - 求$k$大值

  • 流程：

    • $k<=$当前点左子树大小：去左子树找

    • $k>$当前节点左子树大小 + 当前节点的计数：去右子树找

    • 否则$k$就恰好落在当前节点上，直接返回当前节点的答案

  • 附加操作都相对简单，不作赘述。

int kth (int k) {
    int p = root;
    while (p != 0) {
        if (k <= t[t[p].ch[0]].sz) {
            p = t[p].ch[0];
        } else if (k > t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt) {
            k -= t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt;
            p = t[p].ch[1];
        } else {
            return t[p].key;
        }			
    }
    return false;
}

• $get\_rnk$ - 求当前数的排名

  • 流程：

    • 键值比当前节点大：去右子树找 && 带上左子树和当前节点的贡献

    • 键值比当前节点小：去左子树找

    • 键值与当前节点相等：返回答案

  • 在返回答案时记得加上当前节点左子树大小（未统计的贡献）$+ 1$（排名）

int get_rnk (int key) {
    int p = root, ans = 0;
    while (p != 0) {
        if (key < t[p].key) {
            p = t[p].ch[0];
        } else if (key > t[p].key) {
            ans += t[p].cnt;
            ans += t[t[p].ch[0]].sz;
            p = t[p].ch[1];
        } else {
            return ans + t[t[p].ch[0]].sz + 1;
        }
    } 
    return false;
}

---

2.完整板子（Luogu P3369 普通平衡树）

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;

struct Treap {
    int tot, root;
    
    struct Treap_node {
        int rd, sz, ch[2], cnt, key;
    }t[N];
    
    Treap () {
        tot = root = 0;
        memset (t, 0, sizeof (t));
    }
    //注意初始化
    
    void push_up (int p) {
        t[p].sz = t[p].cnt;
        t[p].sz += t[t[p].ch[0]].sz; 
        t[p].sz += t[t[p].ch[1]].sz;
    }
   //更新节点大小
    
    void rotate (int &p, int dir) {
        //dir = 0 / 1 -> 右旋 / 左旋
     	int s = t[p].ch[dir ^ 0];
        t[p].ch[dir ^ 0] = t[s].ch[dir ^ 1];
        t[s].ch[dir ^ 1] = p;
        push_up (p);
        push_up (s);
        p = s;
    }
    //旋转
    
    void Insert (int &p, int key) {
        if (p == 0) {
            p = ++tot;
            t[p].sz = 1;
            t[p].cnt = 1;
            t[p].key = key;
            t[p].rd = rand ();
            return;
        }
        ++t[p].sz;
        if (t[p].key == key) {
            ++t[p].cnt;
        } else {
            int dir = key > t[p].key;
            Insert (t[p].ch[dir], key);
            if (t[p].rd > t[t[p].ch[dir]].rd) {
                rotate (p, dir);
            }
        }
    }
    //插入
    
    void Delete (int &p, int key) {
        if (p == 0) {
            return;
        }
        if (t[p].key == key) {
            if (t[p].cnt > 1) {
                --t[p].sz;
                --t[p].cnt;
            } else {
                if (t[p].ch[0] * t[p].ch[1] == 0) {
                    //分支 < 2 
                    p = t[p].ch[0] + t[p].ch[1];  
                } else {
                    if (t[p].ch[0] < t[p].ch[1]) {
                        rotate (p, 0);
                    } else {
                        rotate (p, 1);
                    }
                    Delete (p, key);
                }
            }
        } else {
            --t[p].sz;
            Delete (t[p].ch[key > t[p].key], key);
        }
    }
    //删除
    
    int pre (int key) {
        int p = root, ans = 0;
        while (p != 0) {
            if (t[p].key < key) {
                ans = t[p].key;
                p = t[p].ch[1];
            } else {
                p = t[p].ch[0];
            }
        }
        return ans;
    }
    //前驱
    
    int nxt (int key) {
        int p = root, ans = 0;
        while (p != 0) {
            if (t[p].key > key) {
                ans = t[p].key;
                p = t[p].ch[0];
            } else {
                p = t[p].ch[1];
            }
        }
        return ans;
    }
    //后继
    
    int kth (int k) {
        int p = root;
        while (p != 0) {
            if (k <= t[t[p].ch[0]].sz) {
                p = t[p].ch[0];
            } else if (k > t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt) {
                k -= t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt;
                p = t[p].ch[1];
            } else {
                return t[p].key;
            }			
        }
        return false;
    }
    //k大(返回的是第k大的键值)
    
    int get_rnk (int key) {
        int p = root, ans = 0;
        while (p != 0) {
            if (key < t[p].key) {
                p = t[p].ch[0];
            } else if (key > t[p].key) {
                ans += t[p].cnt;
                ans += t[t[p].ch[0]].sz;
                p = t[p].ch[1];
            } else {
                return ans + t[t[p].ch[0]].sz + 1;
            }
        } 
        return false;
    }
    //求排名
}tree;

int n, x, opt;

int main () {
//	freopen ("Data.in", "r", stdin);
    srand (time (NULL));
    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf ("%d %d", &opt, &x);
        if (opt == 1) {//insert
            tree.Insert (tree.root, x);
        }
        if (opt == 2) {//delete
            tree.Delete (tree.root, x);
        }
        if (opt == 3) {//get_rank
            printf ("%d\n", tree.get_rnk (x));
        }
        if (opt == 4) {//get_kth
            printf ("%d\n", tree.kth (x));
        }
        if (opt == 5) {//get_pre
            printf ("%d\n", tree.pre(x));
        }
        if (opt == 6) {//get_nxt
            printf ("%d\n", tree.nxt(x));
        }
    }
}