Trie树与AC自动机

Trie树与AC自动机

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作为现阶段的学习中个人应有的常识，AC自动机形象的来讲就是在Trie树上跑的一个KMP。由此，我们就先来谈一谈Trie树。(有图)

1. Trie树

又称单词查找树，字典树，一般用于字符串的匹配。它利用公共的字符串前缀进行查询，减少了无谓的操作，是空间换时间的经典算法。举例：

此图包含了{"to", "tea", "ted", "ten", "a", "i", "in", "inn"}这些字符串。

Trie树的基本性质可以归纳为：

1. 根节点不包含字符，除根节点意外每个节点只包含一个字符。
2. 从根节点到某一个节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串。
3. 每个节点的所有子节点包含的字符串不相同。

Trie树有两个基本操作，一为插入，二为删除，且两者复杂度均为\(O(len)\)（其中$len = $ 字符串长度）。

我们以对五个串aaaa,abb,aabbb,baa,bab的操作进行说明。

1.基本操作

1.插入

1. 插入aaaa

首先插入串aaaa。对树中没有的节点进行新建，连接。结果：

对，就是这样的简单插入。（图中红色字母代表一个单词的结尾）

2. 插入abb

再插入串abb。在插入时，已有的节点直接走过去，没有的就插入再走过去。结果：

1.插入a

2.插入b

3.再插入b

完成。

3.插入aabbb

不再赘述，此操作请认真思考。结果：

4.插入baa

因为根节点的儿子中没有b，所以我们要在根节点后挂上一个b。其余的新建与第一个串一样。结果：

5.插入bab

与第二个串相同。结果：

结束。

2.查询

为了避免冗余，我们用简单的几张图片表示过程。以串aabbb为例：

完成。

简单的操作就是这些。但在实际应用中，往往不只是单纯返回一个串，更常用的是返回此处是否有串，或是串的个数，抑或状态。下面我们以几个题目做例子。

2.题目

1.洛谷P2580 于是他错误的点名开始了

大意：

给定\(n\)个字典串，再对\(m\)个模式串进行匹配，若匹配到，输出\(O\)，未匹配到，输出\(WRONG\)，若匹配到且之前已经被匹配，输出\(REPEAT\)。

解：真的是很基本的Trie树的题，此题在这里是做代码范例用途。详细解释见代码。（不要在意这神奇的代码风格）

#include <iostream>
#define re register
const int MAXN = 1000001;
struct Trie{				//定义Trie树的结构，因为当前节点后可能会有26个小写字母，也就是26个后继，所以数组开26大小。
	int next[26];
	bool exist, repeat;		//exist：是否是字符串结尾（当前位置是否有字符串）；repeat：此字符串是否被查询过。
}a[MAXN];
int top, n, m;
std::string str;
inline void Trie_insert() {
	int iter(0), now(0), tmp(0);		//iter：指向字符；now：指向节点。此两者起指针作用。
	for (iter; str[iter]; ++iter) {		//遍历当前插入字符串。
		tmp = str[iter] - 'a';			//将当前字母用数字表示。
		if(!a[now].next[tmp]) a[now].next[tmp] = ++top;		//如果当前节点没有代表该字母的后继，则新建节点。
		now = a[now].next[tmp];			//将指针向后移。
	}
	a[now].exist = true;				//当前节点代表字符串结尾。
	return ;
}
inline int Trie_search() {
	int iter(0), now(0), tmp(0);
	for (iter; str[iter]; ++iter) {		//遍历当前查询字符串。
		tmp = str[iter] - 'a';			//与上方操作相同。
		if(!a[now].next[tmp]) return 0;	//如果当前节点没有代表该字母的后继，则说明查询失败，返回零。
		now = a[now].next[tmp];			//指针后移。
	}
	return a[now].exist ? (!a[now].repeat ? (a[now].repeat = 1) : 2) : 0;
  /*
  		相当于：
        if(a[now].exist) {				//判断是否存在
	        if(a[now].repeat) return 2;	//判断是否查询过
	        else {a[now].repeat = 1; return 1;}
        }
        else return 0;
  */
}
int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin >> n;
	for (re int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> str, Trie_insert();
	std::cin >> m;
	for (re int i = 1; i <= m; ++i) {
		std::cin >> str;
		switch(Trie_search()) {		//得到查询的返回值。若是0，说明匹配未成功；是1，说明匹配成功；是2，说明匹配成功，且重复匹配。
          	case (0): {
				std::cout << "WRONG\n";
				break;
			}
			case (1): {
				std::cout << "OK\n";
				break;
			}
			default: {
				std::cout << "REPEAT\n";
			}
		}
	}
	return 0;
}

就是这样。

2.洛谷P2922 [USACO08DEC] 秘密消息Secret Message

大意：

给定\(M(1 \leqslant M \leqslant 50000)\)个字典串，第\(i\)个字典串有\(Bi(1 \leqslant Bi \leqslant 10000)\)位。再给定N(\(1 \leqslant N \leqslant 50000\))个模式串，第\(i\)个模式串有\(Cj\)(\(1 \leqslant Cj \leqslant 10000\))位 (\((\sum_{i = 1}^{M}Bi + \sum_{j = 1}^{N}Cj) \leqslant 500000\))。对每个模式串\(j\)，求有多少串与当前模式串有相同前缀。(包括长度长于，等于与小于模式串的字典串)

解：在插入沿途做经过的标记，标记当前字母被几个字符串经过。在查询时\(ans\)加上经过字母上的结束标记。查询结束时，如果是走到字典串结尾而结束，\(ans\)加上结束标记，直接退出；如果是走到模式串结尾而结束，\(ans\)则不加结束标记，而是要加上经过标记，然后退出。

前面的加结束标记好理解，但为什么字典串比模式串长时要加经过标记呢？因为字典串比模式串长，说明字典串以模式串为前缀，按题意求有多少串与当前模式串有相同前缀，又因为经过标记正好代表这些串的个数，当然要用经过标记了。

这一道题思维量并不大，也算一道入门题。

#include <cctype>
#include <cstdio>
const int N = 10000;
struct Node{
    int next[2], exist, passby;			//exist：结束标记；passby：经过标记。
}cow[500010];
int m, n, b, j, tot, top;
bool fl(0);
char buf[N], *p = buf, *end = buf;
inline char Get_char() {
    if(p == end) {
        if(feof(stdin)) return (0);
        p = buf; end = buf + fread(buf, 1, N, stdin);
    }
    return *(p++);
}
inline void Get_int(int &x) {
    x = 0; char c(0);
    while (!isdigit(c = Get_char()));
    do {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);}
    while (isdigit(c = Get_char()));
    return ;
}
inline void Insert(int lent) {
    int now(0), c(0);
    for (int i = 1; i <= lent; ++i) {
        Get_int(c);
        if(!cow[now].next[c]) cow[now].next[c] = ++top;
		cow[cow[now].next[c]].passby++;			//普通插入，只不过多了经过标记。
		now = cow[now].next[c];
    }
    cow[now].exist++;
    return ;
}
inline void Query(int lent) {
    int now(0), c(0); tot = 0; fl = false; int i;
    for (i = 1; i <= lent; ++i) {
        Get_int(c);
        if(!cow[now].next[c]) {fl = true; break;}	//标记第一种情况，即字典串比模式串短。
        now = cow[now].next[c];
		tot += cow[now].exist;						//加结束标记。
    }
    for (i = i + 1; i <= lent; ++i)
		Get_int(c);
    if(fl) {printf("%d\n", tot);}
    else {printf("%d\n", tot - cow[now].exist + cow[now].passby);}	//第二种情况，即字典串比模式串长，则减掉之前加上的结束标记，加上经过标记。
    return ;
}
int main() {
    Get_int(m); Get_int(n);				//不要在意快读。
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        Get_int(b); Insert(b);			//插入操作。
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        Get_int(j); Query(j);			//查询操作。
    }
    return 0;
}

3.待添加

2.AC自动机

1.基本介绍

写过KMP没？如果写过，那么解释起来，AC自动机就是在Trie树的基础上加了失配指针，更方便进行模式串匹配；没学过的话，那也没关系，其实是否学过KMP与对AC自动机的理解之间关系不大。真的不骗你 不过最好还是学一学

让我们先定义一下AC自动机的节点：

struct Node {
    int next[26];
    int exist; int fail;
    void clean() {exist = fail = 0; memset(next, 0, sizeof next);}
};

那么\(exist\)是存在标记，\(fail\)是失配指针。

\(fail\)指针，指向了当前字符串的后缀字符串的最后一个字符。有关具体的构建方法，我们来看一下代码：

inline void Make_fail() {
    int tmp(0), now(0), iter(0);
    que.clean();
    for (int i = 0; i < 26; ++i)
        if((tmp = tree[0].next[i])) {
            tree[tmp].fail = 0;
            que.push(tmp);
        }
    while(!que.empty()) {
        now = que.pop();
        for (int i = 0; i < 26; ++i)
            if((tmp = tree[now].next[i])) {
                iter = tree[now].fail;
                while(iter && !tree[iter].next[i]) iter = tree[iter].fail;
                tree[tmp].fail = tree[iter].next[i];
                que.push(tmp);
            }
    }
}

先将与\(root\)点(即\(0\)点)相连的节点的\(fail\)指针全部指向\(root\)，然后将\(root\)点的存在的子节点全部压入队列，按\(bfs\)的方式构造\(fail\)。弹出当前点\(now\)，遍历其\(26\)个分叉，寻找其子节点。找到子节点\(tmp\)后，使\(iter = now.fail\)，若\(iter.next[i]\)不为空，则\(tmp.fail = iter.next[i]\)；若为空，则沿\(iter.fail\)继续跳跃。按此方式找到第一个\(iter.next[i]\)不为空的节点，使\(tmp.fail = iter.next[i]\)。若始终无法寻找到，则\(tmp.fail = root\)。

解释待补。

所以AC自动机就这样完了。

代码：(例HDU 2222)

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXN = 10010;
const int CHARLEN = 1000010;
const int LENGTH = 500010;
const int LEN = 60;
struct QUEUE {
    int head, tail; int a[LENGTH];
    bool empty() {return (head >= tail);}
    void push(int x) {a[++tail] = x; return ;}
    int pop() {return (a[++head]);}
    void clean() {head = tail = 0;}
}que;
struct Trie {
    int next[26];
    int exist; int fail; char c;
    void clean() {exist = fail = 0; memset(next, 0, sizeof next);}
}tree[LENGTH];
int t, n, top;
char str[LEN], prn[CHARLEN];
inline void insert() {
    int iter(0), now(0), tmp(0);
    for (; str[iter]; ++iter) {
        tmp = str[iter] - 'a';
        if(!tree[now].next[tmp]) {
            tree[++top].clean();
            tree[now].next[tmp] = top;
            tree[top].c = str[iter];
        }
        now = tree[now].next[tmp];
    }
    tree[now].exist++;
    return ;
}
inline void Make_fail() {
    int tmp(0), now(0), iter(0);
    que.clean();
    for (int i = 0; i < 26; ++i)
        if((tmp = tree[0].next[i])) {
            tree[tmp].fail = 0;
            que.push(tmp);
        }
    while(!que.empty()) {
        now = que.pop();
        for (int i = 0; i < 26; ++i)
            if((tmp = tree[now].next[i])) {
                iter = tree[now].fail;
                while(iter && !tree[iter].next[i]) iter = tree[iter].fail;
                tree[tmp].fail = tree[iter].next[i];
                que.push(tmp);
            }
    }
}
inline void search() {
    int iter(0), now(0), tmp(0), itn(0), ans(0);
    for (; prn[iter]; ++iter) {
        tmp = prn[iter] - 'a';
        while(!tree[now].next[tmp] && now) now = tree[now].fail;
        now = tree[now].next[tmp];
        itn = now;
        while(itn) {
            if(tree[itn].exist == -1) break;
            ans = ans + tree[itn].exist;
            tree[itn].exist = -1;
            itn = tree[itn].fail;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
}
inline void work() {
    scanf("%d", &n); tree[0].clean(); top = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%s", str), insert();
    Make_fail();
    scanf("%s", prn);
    search();
    return ;
}
int main() {
    scanf("%d", &t);
    while(t--) work();
    return 0;
}

2.题目

1.HDU 2222 Keywords Search

如上

2. Luogu P3808 【模板】AC自动机（简单版）

模板，打呗

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
const int MAXN = 1000001;
const int N = 10000;
int top, n;
char buf[N], *p = buf, *end = buf, str[MAXN];
struct QUEUE{
    int str[MAXN], head, tail;
    QUEUE() {head = tail = 0;}
    void push(int x) {str[++tail] = x;}
    int pop() {return (str[++head]);}
    bool empty() {return (head == tail);}
}que;
struct Trie{
    int next[26];
    int exist; int fail;
}tree[MAXN];
inline char Get_char() {
    if(p == end) {
        if(feof(stdin)) return (0);
        p = buf; end = buf + fread(buf, 1, N, stdin);
    }
    return *(p++);
}
inline void Get_int(int &x) {
    x = 0; char c(0);
    while(!isdigit(c = Get_char()));
    do {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);}
    while(isdigit(c = Get_char()));
    return ;
}
inline void Get_str(char *str){
    char c(0);
    while(!isalpha(c = Get_char()));
    do{*(str++) = c;}
    while(isalpha(c = Get_char()));
    *str = '\0';
    return ;
}
inline void Trie_insert(char *str){
    int iter(0), now(0), tmp(0);
    for (; str[iter]; iter++) {
        tmp = str[iter] - 'a';
        int &aaa = tree[now].next[tmp];
        if(!aaa) aaa = ++top;
        now = aaa;
    }
    tree[now].exist++;
    return ;
}
inline void AC_makefail() {
    int now(0), tmp(0);
    for (int i = 0; i < 26; ++i) 
        if(tree[0].next[i]) {tree[tree[0].next[i]].fail = 0; que.push(tree[0].next[i]);}
    while(!que.empty()) {
        now = que.pop();
        for (int i = 0; i < 26; ++i) 
            if((tmp = tree[now].next[i])) {
                tree[tmp].fail = tree[tree[now].fail].next[i]; 
                que.push(tree[now].next[i]);
            }
            else tree[now].next[i] = tree[tree[now].fail].next[i];
    }
    return ;
}
inline void AC_search(char *str) {
    int iter(0), now(0), tmp(0), sum(0);
    for (; str[iter]; iter++) {
        tmp = str[iter] - 'a';
        now = tree[now].next[tmp];
        for (tmp = now; ~tree[tmp].exist; tmp = tree[tmp].fail) {
            sum = sum + tree[tmp].exist;
            tree[tmp].exist = -1;
        }
    }
    printf("%d\n", sum);
    return ;
}
int main() {
    Get_int(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        Get_str(str), Trie_insert(str);
    Get_str(str);
    AC_makefail();
    AC_search(str);
    return 0;
}

快读摸过就好 这里有个转移优化，就是在\(now\)没有\(next[i]\)时使\(now.next[i] = now.fail.next[i]\)，可使每次跳跃必定找到匹配串，这样在构造\(fail\)指针与查询时可以减少指针跳跃次数，一步到位，提升效率。

3.Luogu P3796 【模板】AC自动机（加强版）

话不多说，按板打呗。

不过这里从匹配串个数统计改成了字符串出现次数求最大并按输入顺序输出，在\(Node\)里加一个字符串序号，再加一个数组用来统计出现次数就好了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXN = 160;
const int CHARLEN = 1000010;
const int LENGTH = 20010;
const int LEN = 80;
struct QUEUE {
    int head, tail; int a[LENGTH];
    bool empty() {return (head >= tail);}
    void push(int x) {a[++tail] = x; return ;}
    int pop() {return (a[++head]);}
    void clean() {head = tail = 0;}
}que;
struct Trie {
    int next[26];
    int exist; int fail; int id;
    void clean() {id = exist = fail = 0; memset(next, 0, sizeof next);}
}tree[LENGTH];
struct STRING{
    char str[80]; int num;
}s[MAXN];
int n, top, maxn;
char prn[CHARLEN];
inline void insert(char *str, int i) {
    int iter(0), now(0), tmp(0);
    for (; str[iter]; ++iter) {
        tmp = str[iter] - 'a';
        if(!tree[now].next[tmp]) {
            tree[++top].clean();
            tree[now].next[tmp] = top;
        }
        now = tree[now].next[tmp];
    }
    tree[now].exist++; tree[now].id = i;
    return ;
}
inline void Make_fail() {
    int tmp(0), now(0);
    que.clean();
    for (int i = 0; i < 26; ++i)
        if((tmp = tree[0].next[i])) {
            tree[tmp].fail = 0;
            que.push(tmp);
        }
    while(!que.empty()) {
        now = que.pop();
        for (int i = 0; i < 26; ++i)
            if((tmp = tree[now].next[i])) {
                tree[tmp].fail = tree[tree[now].fail].next[i];
                que.push(tmp);
            }
            else tree[now].next[i] = tree[tree[now].fail].next[i];
    }
}
inline void search() {
    int iter(0), now(0), tmp(0), itn(0);
    for (; prn[iter]; ++iter) {
        tmp = prn[iter] - 'a';
        while(!tree[now].next[tmp] && now) now = tree[now].fail;
        now = tree[now].next[tmp];
        itn = now;
        while(itn) {
            s[tree[itn].id].num++;
            if(tree[itn].id) 
                maxn = maxn > s[tree[itn].id].num ? maxn : s[tree[itn].id].num;
            itn = tree[itn].fail;
        }
    }
}
inline void print() {
    printf("%d\n", maxn);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if(s[i].num == maxn)
            printf("%s\n", s[i].str);
    return ;
}
inline void work() {
    tree[0].clean(); maxn = 0; top = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%s", s[i].str), insert(s[i].str, i), s[i].num = 0;
    Make_fail();
    scanf("%s", prn);
    search();
    print();
    return ;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    while(n) {
        work();
        scanf("%d", &n);
    }
    return 0;
}

4.待添加