群

群论

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1.群的定义

1.二元运算

1. 设\(S\)与\(G\)均为集合，则称所有有序实数对\((a, b)\)构成的集合为它们的笛卡尔积，其中\(a \in S, b \in G\)，记作\(S \times G\)。即\(S \times G = \{(a,b)|a \in S, b \in G\}\)。
2. 从\(S \times S\)到\(S\)的一个映射 \(\cdot\) 称作\(S\)上的一个二元运算。

2.群的定义

设\(G\)为一个非空集合，若在\(G\)上定义一个运算 \(\cdot\) ，满足：

1. 封闭性：对\(\forall a,b \in G\)，有\(a \cdot b \in G\)。(由此处可知运算 \(\cdot\) 为一二元运算)。
2. 结合性：对\(\forall a,b,c \in G\)，有\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)。

则称\(G\)为一个半群，记作\((G,\cdot)\)；若\((G, \cdot)\)还满足：

3. \(\exists\)单位元\(e \in G\)，使\(\forall a \in G\)有\(e \cdot a = a \cdot e = a\)。

则称\((G, \cdot)\)为一个幺半群；若\((G, \cdot)\)还满足：

4. 对\(\forall a \in G\)，有\(b \in G\)，使\(b \cdot a = a \cdot b = e\)。

则称\((G, \cdot)\)为一个群。

又：如果群\((G, \cdot)\)满足交换律：对\(\forall a,b \in G\)，有\(a \cdot b = b \cdot a\)，则称\(G\)为交换群或\(Abel\)群。

群中的乘法运算( \(\cdot\) 运算)一般简记为\(ab\)。如果\(ab = ba = e\)则称\(a\)为一个可逆元，并称\(b\)为\(a\)的逆元。可逆元\(a\)的逆元通常记作\(a^{-1}\)。易知可逆元的逆元是唯一的。(即为定义4)

3.群的性质

1. 消去律：设群中的元素\(a,b,c\)满足\(ab = ac\)或\(ba = bc\)，则\(b = c\)。

证明：若\(ab = ac\)：

\[ab = ac \\ a^{-1}ab=a^{-1}ac \\ (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c \\ eb=ec \\ b=c \]

同理可得\(ba=ca\)时有\(b=c\)。

2. 若\(ab=a\)或\(ba=a\)，则\(b=e\)。
3. 若\(ab=e\)或\(ba=e\)，则\(b=a^{-1}\)。
4. \((a^{-1})^{-1}=a\)。
5. \((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\)。

4.元素的阶

1. 由有限多个元素构成的群\(G\)称为有限群，其中元素的个数记作\(|G|\)，称为\(G\)的阶。用\(|G|=\infty\)表示\(G\)是无限群。
2. 若\(a\)为是群\(G\)的一个元素，则使得\(a^{n}=e\)的最小正整数\(n\)，称为\(a\)的阶(或周期)，记为\(o(a)\)。若这样的正整数不存在，则称\(a\)的阶为无穷。

2.子群

1.子群的定义

设\(H\)是群\(G\)的一个非空子集，若\(H\)满足条件：

1. 乘法封闭：对\(H\)中的\(\forall a,b\)都有\(ab \in H\)。
2. 求逆封闭：对\(H\)中的\(\forall a\)都有逆元\(a^{-1} \in H\)。

则称\(H\)为\(G\)的一个子群。

2.性质

设\(H\)为群\(G\)的一个非空子集，若\(ab^{-1} \in H\)对\(\forall a,b \in H\)成立，则\(H\)是\(G\)的一个子群。

证明：(1).任取\(c\in H\)，则\(e = cc^{-1} \in H\)；对\(\forall a \in H\)，有\(a^{-1} = ea^{-1} \in H\)，因此\(H\)对求逆封闭。

(2).对\(\forall a,b\)，有\(ab = a(b^{-1})^{-1} \in H\)，因此\(H\)对乘法封闭。

所以\(H\)是\(G\)的一个子群。