斜率优化
斜率优化
1.概念
对于某些转移方程形如\(DP[i] = min / max(DP[j] + f(j))\)的DP来说，我们可以使用单调队列将其由\(O(n^{2})\)优化为\(O(n)\)。但对于一些转移方程形如\(DP[i] = min / max(DP[j] + f(i , j))\)的DP来说，因为转移中有与\(i\)有关的表达式，于是就不能贸然地使用单调队列了。这个时候我们需要将斜率优化请上台面。
我们以转移方程形如\(DP[i] = min(DP[j] + f(i, j))\)的DP为例。
尝试将DP方程化为\(DP[i] = {\color{red}{(……)}} + {\color{green}{(……)}} +{\color{orange}{(……)}}\)的形式。红色的部分为仅与\(j\)有关的表达式，绿色的部分则与\(i\)和\(j\)均有关，橙色的部分只与\(i\)或常数有关。设红色部分为\(y\)，绿色的部分中与\(i\)有关的部分为\(k\)，与\(j\)有关的部分为\(x\)，橙色的部分向左移项与\(DP[i]\)合为\(B\)，这样我们就将其化成了\(B = y - kx\)的形式，整个问题就转化成了求\(B\)最小。因为在\(B\)中与\(i\)有关的部分在单次转移时相当于一个常数，所以求\(B\)最小就相当于求\(DP[i]\)最小。
对于任意\(j\)，可以表示为坐标轴上一点\((x, y)\)，转移时则可利用坐标计算\(y - kx\)，求得\(B\)的最小值(当然算的时候别忘了计算\(B\)中的常数)。保证斜率\(k >0\)，且随\(i\)单增，才可以进行下面的转移。
如何确定转移最优一点呢？这样：
将斜率为\(k\)的直线上移，可发现第一个触及直线的点会使其截距最小。而又因为斜率单增，所以说此点前的所有点已经对转移没有贡献，直接弹出即可。
如果尾部在插入新的\(j\)时出现了不下凸的情况怎么办？这样：
在\(i\)点之上的两个点在\(i\)点插入后，将不会有对转移做出贡献的机会，因为由\(i\)点转移至当前点时所得到的截距将恒优于\(i\)点之上的两个点。所以此两点一并弹出即可。
或使用数学方法证明：记\(slope(i, j) = \dfrac{Y(i) - Y(j)}{X(i) - X(j)}\)，当前点为\(l\)。若\(slope(i, j) < k (i < j)\)，则说明由\(j\)转移到\(l\)较由\(i\)转移到\(l\)更优。假设\(slope(i, j) > slope(j, l)\)，若\(slope(j, l) < k\)，则\(l\)较\(j\)更优；若\(slope(j, l)>k\)，则\(slope(i, j)>k\)，说明\(i\)较\(j\)更优。
这样的话不论怎样，出现上凸的\(j\)点都不会是更优的转移点，所以说直接将\(j\)点删除，再\(i,l\)相连即可。
存点的结构考虑单调队列，因其可以按条件进行双向删除，单向插入，符合需求。
维护队首时，比较\(slope(head, head + 1)\)是否小于\(k\)。小于\(k\)说明此点在所求点之下，弹出。第一个\(slope(…) \geqslant k\)的点即为所求转移点。(PS：如果弹到队尾都没有符合要求的点，则至少要留下一个点转移。)
维护队尾时考虑上述证明，弹出\(slope(tail, i) < slope(tail - 1, tail)\)的\(tail\)。这个就不用留点了，因为到最后还会插入一个\(i\)。
成型后的有效点集大概这样，是个上凸包。
大概就这样。
那么如果\(k\)随\(i\)单减，转移方程求的是最小值呢？维护一个上凸包即可(维护单调队列时把小于号都反过来)。
上面所说的均是\(x\)单调且\(k\)单调的情况，那如果它们不单调呢？据说\(x\)不单调可以开平衡树或cdq分治，\(k\)不单调二分查找。然而我并不会：P。
没了。
2.例题
直接看博客即可。
1.[HNOI 2008]玩具装箱
2.[USACO08MAR] 土地购买 Land Acquisition
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