每日导数61

一题多解,换主元、隐零点

已知函数f(x)=lnxx+a1

(1)若f(x)0,求a取值范围

(2)当a(0,1]时,证明:f(x)(x1)exxeaea

(1) 因f(1)=a2,则必须有a2

现说明,a>2是所求范围

f(x)=1x1,则不难得到

f(x)(0,1)上增,在(1,+)上减

从而f(x)min=f(1)=a20

综上a2

(2) f(x)(x1)exxeaea

(lnxx+a1)ea(x1)exxea

(lnx+a1)ea(x1)ex

lnx+a1(x1)exa0

法一:换主元

h(a)=lnx+a1(x1)exa

h(a)=1+(x1)exa=exa(eax+x1)>exa(ex+x1)>exa(x+1+x1)=0

从而h(a)h(1)=lnx(x1)ex1(x1)(x1)ex1=(x1)(1ex1)0

法二:隐零点处理

φ(x)=lnx+a1(x1)exa

φ(x)=1xxexa单调递减

φ(12)=212e12a>0,φ(1)=1e1a<0

从而存在唯一的x0使得φ(x0)=1x0x0ex0a=0

并且x=x0φ(x)的极大值点

从而φ(x)φ(x0)=lnx0+a1(x01)ex0a

1x0x0ex0a=0,则ex0a=1x02,a=x0+2lnx0

φ(x0)=3lnx0+x01(x01)1x02=3lnx0+x011x0+1x02

lnxx1

φ(x0)3(x01)+x011x0+1x02(x01)(2x01)(2x0+1)x02<0,x0(12,1)

得证!

posted @   会飞的鱼13  阅读(5)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
点击右上角即可分享
微信分享提示