圆锥曲线7

合集 - 圆锥曲线(18)

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定点问题转化为斜率和、积问题

已知椭圆$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$的离心率为${\displaystyle \frac{1}{2}}$，且点$(1,-{\displaystyle \frac{3}{2}})$在椭圆上.

$(1)$求椭圆$C$的标准方程

$(2)$ 如图，椭圆$C$的左、右定点分别为$A,B$，点$M,N$是椭圆上异于$A,B$不同的两点，直线$BN$的斜率为$k(k\ne 0)$，直线$AM$的斜率为$3k$，证明：$MN$过定点.

$(1)$ ${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$

$(2)$ 因$k_{MA}\cdot k_{MB}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

从而$k_{BM}=-{\displaystyle \frac{1}{4k}}$

从而$k_{BM}\cdot k_{BN}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

设$BM:y-k_{BM}(x-2)=0,BN:y-k_{BN}(x-2)=0$

两直线做乘有

$y^2-y(x-2)(k_{BM}+k_{BN})+k_{BM}{k}_{BN}(x-2{)}^2=0$

联立$C$即$y^2={\displaystyle \frac{3(2-x)(2+x)}{4}}$

即有$${\displaystyle \frac{3(2-x)(2+x)}{4}}-y(x-2)(k_{BM}+k_{BN})-{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-2{)}^2=0$$
即$${\displaystyle \frac{3(2+x)}{4}}+y(k_{BM}+k_{BN})-{\displaystyle \frac{1}{4}}(2-x)=0$$

从而过定点$(1,0)$