每日导数10

来个简单的

已知函数f(x)=2alnxx+1x

(1)x[1,+),f(x)0,求a的取值范围.

(2)证明:a(1,+),x(1,+),f(x)>(x1)2

(1) 2alnxx+1x02ax21xlnx

g(x)=x21xlnx,g(x)=2x2lnx(x21)(lnx+1)(xlnx)2=x2lnxx2+lnx+1(xlnx)2

h(x)=x2lnxx2+lnx+1,h(x)=2xlnxx+1x

x1,lnx12(x1x)

所以lnxx1xx+1x=0

从而g(x)单调递减
limx1g(x)=2

进而2a2a1

(2) 要证:a>12alnxx+1x>(x1)2
成立

2lnxx+1x>(x1)2

即证:2lnxx+1x+(x1)2>0

G(x)=2lnxx+1x+(x1)2

G(x)=(x1)2x2x+1x2>0

从而G(x)单调递增,进而G(x)>G(1)=0

不等式得证.

posted @   会飞的鱼13  阅读(6)  评论(0编辑  收藏  举报
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