高维球冠的表面积估算
问题定义
考虑一个d维的单位球 \(S^{d-1}\) ,这个单位球的的面积是 \(S_d\), 体积是 \(V_d\)
\(\mathcal{C}_{{x}, \alpha} = \{{u} \in S^{d-1}: \left<u, x\right> \geq \alpha\}\) 是一个中心点在 \({x} \in S^{d-1}\) 且高度为 \(\alpha\) 的球冠，并令 \(C(\alpha)\) 表示它的表面积（d-1维）在整个球表面积 \(S_d\) 中的占比。
我们的目标就是估算在高维情况下（\(d\gg1\)）的 \(C(\alpha)\) 的量级
高维球的表面积和体积
详见参考资料，我觉得自己暂时无法提出一个更优的解法
高维球冠的表面积估算
球冠面积占比 \(C(\alpha)\) 在 \(\alpha \in (0,1)\) 情况下可以表示为：
\[\begin{align*}
C(\alpha) &= \frac{\int_0^{\arccos{\alpha}}S_{d-1}\sin^{d-2}(\theta)\theta}{S_d}\\
&= \frac{\frac{(d-1)\pi^{\frac{d-1}{2}}}{(\frac {d-1} 2)!}\int_0^{\arccos{\alpha}}\sin^{d-2}(\theta)\theta}{\frac{d\pi^{\frac{d}{2}}}{(\frac {d} 2)!}}\\
&= \frac{(d-1)(\frac {d} 2)!\int_0^{\arccos{\alpha}}\sin^{d-2}(\theta)\theta}
{\sqrt{\pi}d(\frac {d-1} 2)!}\\
&= \frac{(\frac {d-2} 2)!\int_0^{\arccos{\alpha}}\sin^{d-2}(\theta)\theta}
{\sqrt{\pi}(\frac {d-3} 2)!}\\
\end{align*}
\]
已知 \(\int \sin ^{n} x d x=-\frac{1}{n} \sin ^{n-1} x \cos x+\frac{n-1}{n} \int \sin ^{n-2} x d x\) ，同时引入Gamma函数 \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,\,\,,\,Re(z)>0\)，有
\[\begin{align*}
C(\alpha) &=\frac{\Gamma(\frac{d}2)}
{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{d-1}2)} \int_0^{\arccos{\alpha}}\sin^{d-2}(\theta)\theta\\
&\stackrel{(a)}= d^{\Theta(1)}\int_0^{\arccos{\alpha}}\sin^{d-2}(\theta)\theta\\
&\stackrel{(b)}= d^{\Theta(1)} \cdot (1 - \alpha^2)^{d/2}
\end{align*}
\]
a处的 \(d^{\Theta(1)}\) 在 \(d\gg1\) 时的量级比较接近于 \(\sqrt{d}\)，b处可以用类似Simpson公式得到一个简单的估算
