前缀和 和 差分

前缀和

定义

前缀和可以简单理解为「数列的前 n 项的和」，是一种重要的预处理方式，能大大降低查询的时间复杂度。

一维前缀和

P5638 【CSGRound2】光骓者的荣耀

#include <iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1000010;
int n,k;
long long a,b[N],mmax=0;
int main() {
    cin>>n>>k;
    for(int i=1; i<n; i++) {
        cin>>a;
        b[i]=b[i-1]+a;
        if(i>=k) {
            mmax=max(mmax,b[i]-b[i-k]);
        } else {
            mmax=max(mmax,b[i]);
        }
        //cout<<"i="<<i<<endl;
    }
    cout<<b[n-1]-mmax;
    return 0;
}

 

P1115 最大子段和

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=2*100010;
int n,a;//保存原数列
long long b[N]; //保存a的前缀和
int main() { 
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d",&a);
        b[i]=a+b[i-1];
    }
    long long ans=b[1];//定义答案初始值 
    long long mmin=0;//定义前n项和最小值 
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        ans=max(ans,b[i]-mmin);//连续区间至少要有一个数 
        mmin=min(mmin,b[i]);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

P1865 A % B Problem

//P1865 A % B Problem
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l,r,n,m;
int a[1000010];

bool is_prime(int x) {
    if(x<=1) return false;
    for(int i=2; i*i<=x; i++) {
        if(x%i==0) return false;
    }
    return true;
}

void work(int y) {
    for(int i=1; i<=y; i++) {
        if(is_prime(i)) a[i]++;
        a[i]+=a[i-1];
        //cout<<"***"<<a[i]<<endl;
    }
    return;
}

int main() {
    cin>>n>>m;
    work(m);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>l>>r;
        int t=a[r]-a[l-1];
        if(l<1||r>m)
            cout<<"Crossing the line\n";
        else
            cout<<a[r]-a[l-1]<<"\n";
    }
    return 0;
}

 

 二维前缀和

P1719 最大加权矩形

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=130;
int a,s[N][N];
int n;
int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        for(int j=1; j<=n; j++) {
            cin>>a;
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a;
        }
    }
    int ans=s[1][1];
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        for(int j=1; j<=n; j++) {
            for(int a=1; a<=i; a++) {
                for(int b=1; b<=j; b++) {
                    int t=s[i][j]-s[i][b-1]-s[a-1][j]+s[a-1][b-1];
                    ans=max(ans,t);
                }
            }

        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

P2004 领地选择

 1 #include <iostream>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4 const int N=1010;
 5 int n,m,c;
 6 int a,b[N][N];
 7 int main() {
 8     cin>>n>>m>>c;
 9     for(int i=1; i<=n; i++) {
10         for(int j=1; j<=m; j++) {
11             cin>>a;
12             b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]+a;
13         }
14     }
15     int ans=b[c][c];
16     int mi=1,mj=1;
17     for(int i=1; i+c-1<=n; i++) { //首都左上角的位置
18         for(int j=1; j+c-1<=m; j++) {
19             int x1=i,y1=j,x2=x1+c-1,y2=y1+c-1;
20             int t=b[x2][y2]-b[x2][y1-1]-b[x1-1][y2]+b[x1-1][y1-1];
21             if(t>ans) {
22                 ans=t;
23                 mi=i;
24                 mj=j;
25             }
26             //cout<<i<<' '<<j<<" "<<b[i][j]<<' '<<x2<<' '<<y2<<" "<<b[x2][y2]<<" "<<t<<endl;
27         }
28     }
29     cout<<mi<<' '<<mj<<endl;
30     return 0;
31 }

一维差分

P3406 海底高铁

#include <iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=100010;
long long n,m;
long long p[N],a[N],b[N],c[N];
long long v[N];
int main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        cin>>p[i];
    }
    for(int i=1; i<n; i++) {
        cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
    }
    //需要求出每个城市经过了多少次
    for(int i=1; i<m; i++) {
        int l=min(p[i],p[i+1]);
        int r=max(p[i],p[i+1]);
        v[l]++;
        v[r]--;
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        v[i]+=v[i-1];//求出访问过每个城市几次
        ans+=min(a[i]*v[i],b[i]*v[i]+c[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

T319771 植树节（planting）山东CSP-J2022 入门组1

//差分
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1000010;
int n,l,r,mmin=N,mmax=0;
int a;//记录真正的浇水次数
int b[N];//差分数组

void insert(int l,int r) {
    b[l]++;
    b[r+1]--;
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d %d",&l,&r);
        insert(l,r);
        mmin=min(mmin,l);//记录最左端的浇水的树
        mmax=max(mmax,r);//记录最右端的浇水的树
    }
    int ans=0;//最多的浇水次数
    int a=0;
    for(int i=mmin; i<=mmax; i++) {
        a=a+b[i];
        ans=max(a,ans);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

二维差分/差分矩阵

P3397 地毯

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int a[N][N], b[N][N];
int a1,b1,a2,b2;
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int j=1; j<=m; j++) {
        cin>>a1>>b1>>a2>>b2;
        b[a1][b1]++;
        b[a1][b2+1]--;
        b[a2+1][b1]--;
        b[a2+1][b2+1]++;
        //cout<<'a'<<endl;
    }
    
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        for(int j=1; j<=n; j++) {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
            cout<<b[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}